Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao. Gọi I là trung điểm của HC. Trên tia AI lấy điểm M sao cho I là trung điểm của AM

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo thứ tự.

### a) Tính độ dài BC

Tam giác ABC vuông tại A với \( AB = 3 \, \text{cm} \) và \( AC = 4 \, \text{cm} \). Để tính độ dài của cạnh BC, chúng ta sử dụng định lý Pythagore:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
\]
\[
BC = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]

### b) Chứng minh tứ giác AHMC là hình bình hành

Ta cần chứng minh rằng \( AH \parallel MC \) và \( AM \parallel HC \) hoặc \( AH = MC \) và \( AM = HC \).

1. **Tính độ dài AH (đường cao)**:
Diện tích của tam giác ABC có thể tính bằng:

\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \, \text{cm}^2
\]

Diện tích cũng có thể tính qua đường cao AH, theo công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]

Vì vậy,

\[
6 = \frac{1}{2} \times 5 \times AH \implies 6 = 2.5 \times AH \implies AH = \frac{6}{2.5} = 2.4 \, \text{cm}
\]

2. **Tìm trung điểm I của HC**:
Vì HC là đoạn nối từ H đến C, nên I là trung điểm của HC.

3. **Xác định M**:
Vì I là trung điểm của AM, suy ra \( AI = IM \).

Nhìn chung, tứ giác AHMC có các cạnh đối diện bằng nhau: \( AH = MC \) và \( AM \parallel HC \) do tính chất đường trung bình.
Do đó, \( AHMC \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh tứ giác HKCM là hình thang cân

Để chứng minh HKCM là hình thang cân, ta làm như sau:

1. **Điểm K trên AC sao cho HK = HA**:
Vì \( HK = HA = 2.4 \, \text{cm} \) và \( H \) là trung điểm tượng trưng của \( BC \).

2. **Chứng minh các cặp cạnh song song**:
- \( HK \parallel MC \) vì HK là đường thẳng ngang và MC là đường thẳng nối hai điểm cùng nằm trong mặt phẳng.

3. **Cạnh đồng mức**:
Ta cũng có \( HK = HA \) và độ cao từ điểm K xuống đường thẳng MC bằng nhau (do HK song song với MC).

Kết luận, với HK song song với MC và HA = HK, tứ giác HKCM là hình thang cân.

Vậy, ta đã hoàn tất bài toán.