Xác định số chẵn trên nhỏ nhất là số nguyên dương của dãy trên

Để xác định số chẵn nhỏ nhất là số nguyên dương của dãy \( (u_n) \) được định nghĩa bởi

\[
u_1 = \sqrt{6}, \quad u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}, \quad \forall n \in \mathbb{N},
\]

ta cần phân tích dãy số này.

1. Tính giá trị của \( u_1 \):
\[
u_1 = \sqrt{6} \approx 2.45.
\]

2. Tính giá trị \( u_2 \):
\[
u_2 = \sqrt{6 + u_1} = \sqrt{6 + \sqrt{6}}.
\]

3. Tiếp tục với một vài giá trị tiếp theo:
- \( u_3 = \sqrt{6 + u_2} \)
- \( u_4 = \sqrt{6 + u_3} \)

Cần lưu ý rằng dãy số này sẽ hội tụ. Xu hướng của dãy \( u_n \) có thể được phân tích bằng cách giả thiết rằng nó hội tụ về một giới hạn \( L \). Do đó, ta có:

\[
L = \sqrt{6 + L}.
\]

Bình phương cả hai bên:

\[
L^2 = 6 + L \implies L^2 - L - 6 = 0.
\]

Giải phương trình bậc hai này:

\[
L = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}.
\]

Ta tìm được hai nghiệm:

\[
L = 3 \quad \text{và} \quad L = -2.
\]

Vì \( L \) là giá trị dương, nên ta có \( L = 3 \).

Dãy này sẽ hội tụ về 3. Vì vậy, các giá trị dãy \( u_n \) sẽ luôn lớn hơn 2.45 và hội tụ đến 3, do đó số nguyên dương chẵn nhỏ nhất trong dãy này là:

\[
\boxed{2}.
\]