AEHF là hình gì? Vì sao?

Để giải các phần của bài toán, chúng ta sẽ lần lượt phân tích từng yêu cầu.

### Phần a:
**Hình AEHF là hình gì? Vì sao?**

Tứ giác AEHF được tạo ra từ các điểm A, E, H và F. Để xem hình này có phải là hình gì hay không, chúng ta cần xem xét các góc và cạnh của tứ giác:

- Do AE vuông góc với AB (HE vuông góc với AB), AE sẽ là đường cao từ H xuống AE.
- Do HF vuông góc với AC (HF vuông góc với AC), ta có góc HFG = 90°.

Như vậy, AEHF có hai cặp cạnh vuông góc với nhau tại H (AE vuông góc với HE; HF vuông góc với AC). Từ đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác AEHF là hình chữ nhật vì:

1. Có hai cạnh tạo với nhau các góc vuông.
2. H là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc và tạo thành hai cặp ngọn.

### Phần b:
**Chứng minh tứ giác EFMH là hình bình hành.**

Để chứng minh rằng tứ giác EFMH là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau.

1. F là trung điểm của đoạn AM nghĩa là AF = FM.
2. AE || HF, vì HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC (hình chữ nhật AEHF).
3. Do đó, EH = HF, dẫn đến EF || MH.

Vì vậy, từ các đặc điểm trên, chúng ta có thể khẳng định tứ giác EFMH là hình bình hành.

### Phần c:
**Chứng minh rằng tứ giác AHMN là hình thoi.**

Một tứ giác được gọi là hình thoi nếu có tất cả bốn cạnh bằng nhau. Để chứng minh AHMN là hình thoi, ta thực hiện các bước sau đây:

1. **H = AH:** Là chân đường cao, nên nó thỏa mãn.
2. **MN || AH:** Theo yêu cầu, MN là đường thẳng song song với AH, khi đó MN cắt tia HF tại N nên AD = AN.
3. Khi kẻ MN song song với AH và cắt HF tại N, tức là MN cũng vuông góc với hai cạnh AB và AC. Nên có:
- AH = NM
- AN = HM
4. Dễ dàng suy ra AH = HA = AN = HM.

Vì bốn cạnh của tứ giác AHMN đều bằng nhau và cạnh AB vuông góc với AC, do đó tứ giác AHMN là hình thoi.

### Kết luận:
1. AEHF là hình chữ nhật do có hai cặp cạnh vuông góc.
2. EFMH là hình bình hành nhờ tính chất cạnh và góc.
3. AHMN là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.