Để tìm các giá trị nguyên của \( m \) sao cho hàm số

\[
y = \frac{-x + 8}{x + m}
\]

có đạo hàm đồng biến trên khoảng \( (10; +\infty) \), ta cần tính đạo hàm \( y' \) và tìm điều kiện đồng biến.

### Bước 1: Tính đạo hàm

Sử dụng quy tắc chia, ta có:

\[
y' = \frac{(x + m)(-1) - (-x + 8)(1)}{(x + m)^2} = \frac{-x - m + x - 8}{(x + m)^2} = \frac{-m - 8}{(x + m)^2}
\]

### Bước 2: Xác định điều kiện đồng biến

Hàm số đồng biến khi độ biến thiên (đạo hàm) không âm. Vậy:

\[
y' \geq 0 \iff -m - 8 \geq 0 \implies -m \geq 8 \implies m \leq -8
\]

### Bước 3: Các giá trị nguyên của \( m \)

Từ bất đẳng thức trên, các giá trị nguyên của \( m \) phải thoả mãn:

\[
m \leq -8
\]

Có thể liệt kê các giá trị nguyên là \( m = -8, -9, -10, -11, \ldots \).

### Kết luận

Số lượng các giá trị nguyên của \( m \) là vô hạn và là \( m = -8, -9, -10, \ldots \).