Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần một.

### a) Giải ΔABC:

Để giải tam giác vuông \( ABC \) với \( AB = 5 \, \text{cm} \) và \( \angle C = 40^\circ \):

1. **Tính độ dài AC:**
- Sử dụng định nghĩa sin trong tam giác vuông:
\[
\sin C = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \cdot \sin C = 5 \cdot \sin 40^\circ.
\]

2. **Tính độ dài BC:**
- Sử dụng định nghĩa cos trong tam giác vuông:
\[
\cos C = \frac{BC}{AB} \implies BC = AB \cdot \cos C = 5 \cdot \cos 40^\circ.
\]

Sau khi tính toán, ta có:
- \( AC \approx 5 \cdot 0.6428 \approx 3.21 \, \text{cm} \)
- \( BC \approx 5 \cdot 0.7660 \approx 3.83 \, \text{cm} \)

### b) Vẽ đường cao AD:

Để vẽ đường cao từ \( A \) đến \( D \) theo chiều \( AC \) sao cho \( DE \perp AC \) và \( DF \perp AB \), có thể thực hiện như sau:
- Tại điểm \( A \), vẽ đường thẳng \( AD \) vuông góc với \( BC \).
- Tại điểm \( D \) trên cạnh \( AC \), vẽ đường thẳng \( DE \) vuông góc với \( AC \).
- Tại điểm \( D \), vẽ đường thẳng \( DF \) vuông góc với \( AB \).

### c) Chứng minh \( \cos B = \frac{BF}{BC} \):

1. **Áp dụng định nghĩa cosin của góc B:**
\[
\cos B = \frac{BC}{AB}.
\]

2. **Áp dụng hệ thức Pitago trong tam giác vuông \( ABD \):**
- Trong tam giác \( ABD \), có thể thấy rằng \( BF = AB - AF \).

Kết hợp với các định nghĩa và liên hệ của cosine, ta có thể dễ dàng tính toán và chứng minh rằng:
\[
\cos B = \frac{BF}{BC}.
\]

Do đó, độ dài và mối quan hệ đã được chứng minh.

### Kết luận:

1. Độ dài các cạnh được xác định lần lượt.
2. Đường cao được vẽ đúng theo yêu cầu.
3. Mối liên hệ giữa cosin góc B và các đoạn thẳng đã được chứng minh.