Để chứng minh rằng \( d \parallel BC \) trong hình trên, chúng ta có thể tiến hành theo các bước sau:

1. **Xác định các góc**: Trong tam giác \( AHB \) và \( AHC \), ta có góc ở A là \( 50^\circ \) và góc \( HBA \) là góc vuông (\( 90^\circ \)).

2. **Tính góc còn lại**:
\[
\text{Góc } AHB = 180^\circ - (50^\circ + 90^\circ) = 40^\circ
\]
\[
\text{Góc } AHC = 180^\circ - (50^\circ + 90^\circ) = 40^\circ
\]

3. **Sử dụng tiên đề về góc đồng vị**: Ta thấy rằng \( AHB \) và \( AHC \) có góc \( AHB = 40^\circ \) và \( AHC = 40^\circ \). Do cả hai góc này ở phía đối diện với đường thẳng d, ta có thể khẳng định rằng:
\[
\text{Góc } AHB = \text{Góc } AHC
\]

4. **Kết luận**: Vì hai góc đồng vị bằng nhau, từ đó suy ra rằng hai đường thẳng \( d \) và \( BC \) là song song.

### Chứng minh rằng \( d \perp AH \):

1. **Xác định góc vuông**: Từ hình, ta có \( \angle AHB = 90^\circ \).

2. **Sử dụng tính chất của đường vuông góc**: Nếu \( d \) là đường thẳng nằm ngang và \( AH \) là đường thẳng đứng tại \( H \), với góc giữa chúng là \( 90^\circ \), thì ta có:
\[
d \perp AH
\]

Kết luận:
- \( d \parallel BC \)
- \( d \perp AH \)