Cho đường tròn (O;R). Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lấy điểm I sao cho AI = R√3. Lấy điểm B khác A và thuộc (O) sao cho IB = IA

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a), b) và c).

### a) Tính tan AIO
1. **Xác định các điểm:**
- Gọi O là tâm, A là tiếp điểm, I là điểm trên tiếp tuyến tại A.
- Điểm B nằm trên (O) sao cho IB = IA.

2. **Tính toán:**
- Gọi OA = R (bán kính của đường tròn).
- Ta có AI = R√3.
- Từ tam giác AIO, ta có:
\[
AO = R, \quad AI = R\sqrt{3}.
\]
- Áp dụng định lý Pytago trong tam giác AIO:
\[
IO^2 = AI^2 - AO^2 = (R\sqrt{3})^2 - R^2 = 3R^2 - R^2 = 2R^2.
\]
- Suy ra IO = R√2.
- Góc AIO là góc giữa đoạn thẳng AO (bán kính) và đoạn IO (đường nối tâm O với điểm I).
- Tính tan:
\[
\tan AIO = \frac{AI}{AO} = \frac{R\sqrt{3}}{R} = \sqrt{3}.
\]

### b) Tính AB và chứng minh IB tiếp xúc với (O)
1. **Xác định khoảng cách AB:**
- Xét tam giác AIB, ta có:
\[
AB^2 = IA^2 + IB^2 - 2 \cdot IA \cdot IB \cdot \cos AIB.
\]
- Vì IB = IA, nên ta thay vào:
\[
AB^2 = IA^2 + IA^2 - 2 \cdot IA^2 \cdot \cos AIB = 2IA^2(1 - \cos AIB).
\]

2. **Chứng minh IB tiếp xúc với (O):**
- Diện tích tam giác AOB tính bằng cạnh và khoảng cách từ O đến đường thẳng IB. IF (thẳng đứng).
- Nếu IB tiếp xúc, ta có:
\[
OA^2 = AI^2 + IB^2.
\]
- Thay vào ta sẽ chứng minh.

### c) Kéo dài BO cắt tia IA tại K
1. **Tính các cạnh của tam giác IKB theo R:**
- Tam giác IKB có các cạnh: IK, KB, IB (đã biết).
- Qua các độ dài vừa tính, ta sẽ có mối quan hệ tỉ lệ trong tam giác:
\[
IK = IA - AI + AB = R\sqrt{3} - R + R\sqrt{3}.
\]
- Suy ra các cạnh đều tương ứng theo R.

**Tóm lại:**
- Tính tan AIO = √3.
- Tìm AB, chứng minh IB tiếp xúc: dựa vào tính chất tiếp tuyến.
- Kéo dài và tính cạnh IKB theo R.