Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của đường tròn và tam giác.

### Phần a: Tính \( \angle ABC \) và tính \( AD \) theo \( R \)

1. **Tính \( \angle ABC \)**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn. Vì \( AB \) là đường kính, nên theo định lý về góc nội tiếp, \( \angle ACB = 90^\circ \).
- Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( C \) với \( AC \) và \( BC \) là hai cạnh góc vuông.
- Theo định lý Pythagore:
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]
- Ta đã biết \( AB = 2R \) và \( BC = R \). Gọi \( AC = x \), ta có:
\[
(2R)^2 = x^2 + R^2 \Rightarrow 4R^2 = x^2 + R^2 \Rightarrow x^2 = 3R^2 \Rightarrow x = R\sqrt{3}
\]
- Vậy \( AC = R\sqrt{3} \).

2. **Tính \( AD \)**:
- Vì \( DA \) là tiếp tuyến tại \( A \), cho nên \( OA \perp DA \).
- Từ điểm \( O \) đến điểm \( D \) (trên tiếp tuyến) có đoạn thẳng \( OD = R \).
- Do tính chất của tam giác vuông \( OAD \) (vuông tại \( A \)):
\[
AD^2 + OA^2 = OD^2 \Rightarrow AD^2 + R^2 = R^2 \Rightarrow AD = R
\]

### Phần b: Tính \( \angle AOM \) và tính \( AD \) theo \( R \)

1. **Tính \( \angle AOM \)**:
- Ta có \( OC \) là bán kính, và \( CM \) là tiếp tuyến tại \( C \).
- Do đó, \( OC \perp CM \).
- Tương tự, \( OA \perp AD \).
- Tam giác \( AOM \) là tam giác vuông tại \( A \) (theo tính chất tiếp tuyến và bán kính).
- Vậy \( \angle AOM = \angle AOC = 90^\circ \).

2. **Tính lại \( AD \)**:
- Như đã nêu ở phần a, \( AD = R \).

### Kết quả:
- \( \angle ABC = 90^\circ \) và \( AD = R \)
- \( \angle AOM = 90^\circ \) và \( AD = R \)

Nếu bạn cần giải thích chi tiết hơn ở bất kỳ bước nào, hãy cho tôi biết nhé!