Để chứng minh rằng \( 8p + 1 \) là một hợp số khi \( p \) và \( 8p - 1 \) là số nguyên tố, ta có thể thực hiện như sau:

1. **Giả thiết**: Giả sử \( p \) là số nguyên tố.
2. **Xét \( 8p - 1 \)**: Vì \( 8p - 1 \) cũng là số nguyên tố, nên nó phải lớn hơn 1, tức là \( p > \frac{1}{8} \) (mà với số nguyên tố, \( p \geq 2 \)).
3. **Xét \( 8p + 1 \)**: Ta sẽ chứng minh rằng \( 8p + 1 \) không là số nguyên tố.

Khi \( p \) là một số nguyên tố lẻ \((p \geq 3)\):
- Số \( p \) lẻ nên \( 8p \) cũng lẻ, vậy \( 8p + 1 \) sẽ chẵn.
- Số duy nhất chẵn là số nguyên tố là 2. Tuy nhiên, với \( p \geq 3 \), ta có \( 8p + 1 \geq 25 \), do đó \( 8p + 1 \) không thể là số nguyên tố.

Khi \( p = 2 \):
- Ta có \( 8p + 1 = 8(2) + 1 = 17 \), và 17 là số nguyên tố.

Tuy nhiên, nếu cả hai \( p \) và \( 8p - 1 \) đều là số nguyên tố lẻ (đối với mọi \( p \) lẻ khác 2), \( 8p + 1 \) sẽ là hợp số.

4. **Kết luận**: Như vậy, trong trường hợp \( p \) là số nguyên tố lẻ, \( 8p + 1 \) là hợp số.

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( 8p + 1 \) là một hợp số khi \( p \) và \( 8p - 1 \) là số nguyên tố.