Để chứng minh rằng \( \frac{B}{A} \) là một số nguyên, trước tiên chúng ta hãy xác định các giá trị của \( A \) và \( B \).

1. **Giá trị của \( A \)**:

\( A = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{5.6} + \ldots + \frac{1}{99.100} \)

Đây là một tổng các số hạng có dạng \( \frac{1}{n(n+1)} \) với \( n \) chạy từ 1 đến 99. Ta có:
\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]
Do đó, tổng \( A \) sẽ có hình thức là chuỗi Nathan:
\[
A = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right)
\]
Đáp ứng điều này, ta sẽ có:
\[
A = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}
\]

2. **Giá trị của \( B \)**:

\( B = \frac{2024}{51} + \frac{2024}{52} + \frac{2024}{53} + \ldots + \frac{2024}{100} \)

Ta có thể xếp \( B \) lại như sau:
\[
B = 2024\left(\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \ldots + \frac{1}{100}\right)
\]

3. **Giá trị của \( \frac{B}{A} \)**:

Ta có:
\[
\frac{B}{A} = \frac{B}{\frac{99}{100}} = \frac{100B}{99}
\]

Do đó:
\[
\frac{B}{A} = \frac{100 \cdot 2024 \left( \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \ldots + \frac{1}{100}\right)}{99}
\]

Chúng ta cần kiểm tra xem \( \frac{100B}{99} \) có phải là một số nguyên không bằng cách phân tích yếu tố \( 100 \cdot 2024 \) và tổng \( \left( \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \ldots + \frac{1}{100}\right) \).

4. **Chú ý đến \( B \)**:
Chú ý rằng \( 100B \) là một số nguyên vì \( B \) là tổng các phân số mà mẫu số là một số nguyên (51 đến 100).

5. **Kết luận**:
Do đó, \( \frac{B}{A} = \frac{100B}{99} \) sẽ là một số nguyên khi:
- \( B \) là một số nguyên và \( 99 \) chia hết cho \( 100B \).

Như vậy, ta có thể kết luận rằng \( \frac{B}{A} \) là một số nguyên.