Để giải phương trình \( \frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{(x-1)(x+1)} \), đầu tiên chúng ta sẽ rút gọn các phần tử bên trái.

Bắt đầu với phần bên trái:

\[
\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1}
\]

Chúng ta sẽ đưa hai phần tử này về mẫu số chung là \((x-1)(x+1)\):

\[
= \frac{(x+1)^2 + (x-1)^2}{(x-1)(x+1)}
\]

Tính toán tử số:

\[
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
\]
\[
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
\]
\[
(x+1)^2 + (x-1)^2 = (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1) = 2x^2 + 2
\]

Vậy bên trái của phương trình trở thành:

\[
\frac{2x^2 + 2}{(x-1)(x+1)}
\]

So sánh với phần bên phải của phương trình:

\[
\frac{2x^2 + 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{(x-1)(x+1)}
\]

Mặt khác, chúng ta có thể loại bỏ mẫu số chung \((x-1)(x+1)\) (giả sử \(x \neq 1\) và \(x \neq -1\)):

\[
2x^2 + 2 = 4
\]

Giải phương trình này:

\[
2x^2 + 2 - 4 = 0 \implies 2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 - 1 = 0
\]
\[
(x-1)(x+1) = 0
\]

Từ đó, ta tìm được hai nghiệm:

\[
x - 1 = 0 \implies x = 1
\]
\[
x + 1 = 0 \implies x = -1
\]

Tuy nhiên, cả hai giá trị \(x = 1\) và \(x = -1\) làm cho mẫu số trong phương trình ban đầu bằng 0, do đó chúng không phải là nghiệm hợp lệ trong phương trình này.

Vậy, phương trình không có nghiệm nào.