Cho tam giác ABC ( AB > AC ) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC . Trên tia đối của tia MN lấy điểm D sao cho MN = MD

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Tứ giác BNCD là hình gì? Vì sao?

Tứ giác BNCD được tạo thành từ các điểm B, N, C và D.

- Từ định nghĩa, M là trung điểm của BC, và N là trung điểm của AC.
- Điểm D được đặt trên tia đối của MN sao cho MN = MD.

Ta có:

- Do M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Do N là trung điểm của AC, nên AN = NC.
- Về vector, ta có \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M}\).

Vì \(MN = MD\), ta có \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M}\) và từ đó, ta có thêm mối quan hệ giữa các điểm.

Để chỉ ra hình dạng của tứ giác BNCD, ta cần tìm góc giữa các cạnh. Bởi điểm D nằm trên tia đối của MN và MN = MD, điều này cho thấy rằng góc NMD = 60°(góc tạo bởi hai đường thẳng). Với các trung điểm, các cạnh NB, NC, CD, BD sẽ có các tính chất đặc biệt, liên quan đến các đoạn thẳng chiều dài.

Kết luận: Sau khi phân tích, ta nhận thấy tứ giác BNCD là một hình thang, vì N là trung điểm của AC và M là trung điểm của BC, do đó, cạnh BC song song với cạnh AD.

### b) Gọi I là trung điểm của BN. Chứng minh ba điểm A, D, I thẳng hàng.

- Chứng minh A, D, I thẳng hàng dựa trên việc chỉ ra rằng I là trung điểm của đoạn thẳng BD.

- Gọi \(\overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}, \overrightarrow{C}, \overrightarrow{D}\) lần lượt là tọa độ của các điểm này.

- Ta biết rằng D nhận được tọa độ là dịch chuyển từ M ra ngoài chiều tác động, vậy nên khi D nằm trên tia đối của MN, ta sẽ tìm được tỉ lệ của các vector.

- Kết luận rằng vì D nằm trên đường nối AB và I nằm ở trung điểm của BD, nên ba điểm này thẳng hàng.

### c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác BNCD là hình thang cân.

- Để tứ giác BNCD là hình thang cân, chúng ta cần NB // CD và BN = CD.

- Từ giả thuyết tam giác ABC có AB > AC, với các trung điểm M, N, chúng ta thấy rằng các đoạn thẳng BN, NC cần cân bằng về chiều dài.

- Áp dụng đồng thời điều kiện bằng nhau của hai cạnh sẽ giúp kiểm tra hình thang cân.

**Điều kiện:** Cần thiết để tam giác ABC trở thành hình thang cân là \(\frac{AB}{AC} = k\) với k là hằng số, bảo đảm rằng hệ thống cạnh tạo thành hình thang cân.

Tóm lại:
- BNCD là hình thang.
- Ba điểm A, D, I thẳng hàng.
- Điều kiện để BNCD là hình thang cân là một tỉ lệ giữa AB và AC cần thiết.