Để tính tổng \( A = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{2021} \), chúng ta nhận thấy đây là một chuỗi số hạng hình học.

Trong chuỗi hình học, tổng \( S_n \) của \( n \) số hạng được tính bằng công thức:

\[
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu tiên (ở đây \( a = 1 \)),
- \( r \) là tỷ số chung (ở đây \( r = 4 \)),
- \( n \) là số lượng số hạng (ở đây, từ \( 0 \) đến \( 2021 \) nên có \( 2021 + 1 = 2022 \) số hạng).

Áp dụng công thức vào bài toán này:

\[
A = 1 \cdot \frac{1 - 4^{2022}}{1 - 4}
\]

Tính toán chi tiết:

1. Tính \( 1 - 4^{2022} \):
\[
1 - 4^{2022}
\]

2. Tính \( 1 - 4 \):
\[
1 - 4 = -3
\]

Thay vào công thức:

\[
A = \frac{1 - 4^{2022}}{-3}
\]

Vậy tổng \( A \) sẽ là:

\[
A = \frac{4^{2022} - 1}{3}
\]

Kết luận:

\[
A = \frac{4^{2022} - 1}{3}
\]