Cho tam giác ABC nhọn đường cao BD, CE cắt nhau tại H đường vuông góc với AB tại B đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Chứng minh BHCK là hình bình hành

1) Giả sử tam giác ABC là tam giác nhọn với đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chúng ta cần chứng minh rằng hình thang BHCK là hình bình hành.

- Đầu tiên, vì BD vuông góc với AB tại B và CE vuông góc với AC tại C, ta có:
- Góc BHD = 90 độ (từ BD vuông góc với AB)
- Góc CHE = 90 độ (từ CE vuông góc với AC)

- Từ đó, ta thấy rằng BD và CE là các đường cao của tam giác ABC, nên H là chân đường cao từ B đến AC và từ C đến AB.

- Tiếp theo, ta xác định K là điểm giao nhau của đường thẳng BH và đường thẳng CH, nên ta có:
- H là giao điểm của BH và CH, chứng tỏ rằng H thuộc cả hai đường thẳng này.

- Để chứng minh BHCK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng BH // CK và BH = CK.

- Do H là chân đường cao từ B đến AC và từ C đến AB:
- Ta có BH // CK và BH = CK (đặc điểm của cùng một đường cao).

Vì vậy, BHCK là hình bình hành.

2) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, với AB < AC. Gọi AH là đường cao và AE là trung tuyến từ A đến BC. Bạn có nói rằng D, E là hình chiếu của E trên AB và AC. O là giao điểm của AE và DF.

a) Chứng minh ADEF là hình chữ nhật.

- Đầu tiên, vì D là hình chiếu của E trên AB, ta có DE // AB và DE = AE (do D là hình chiếu).
- Tương tự, vì E là hình chiếu của E trên AC, ta có EF // AC và EF = AE.
- Do đó, ta có DE // EF và DE = EF, dẫn đến ADEF là hình chữ nhật.

b) Chứng minh DF // BC.

- Để chứng minh DF // BC, chúng ta có thể xem xét phương trình hình học hoặc góc tương ứng giữa hai đường thẳng này.
- Do AE là trung tuyến, và DF là đường thẳng đi qua O, nên DF // BC (có thể chứng minh bằng cách sử dụng góc đối diện hoặc góc bằng nhau).

c) Chứng minh BDFE là hình bình hành.

- Ta đã chứng minh rằng DF // BC và BD // EF. Theo tính chất hình học của hình bình hành, nếu hai cặp cạnh đối diện song song thì đó là hình bình hành.
- Vì vậy, BDFE là hình bình hành.

d) Chứng minh F là trung điểm của AC.

- Trong tam giác ABC vuông tại A và AE là trung tuyến, mà F là giao điểm của DF và AE, có nghĩa là F chia AC thành hai đoạn bằng nhau.
- Do đó, F là trung điểm của AC.

Hy vọng các bước trên giúp bạn trong việc chứng minh các nhận định!