Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn) đường trung tuyến AD, đường cao BE (E thuộc cạnh AC). Gọi M là hình chiếu của điểm D trên cạnh AC, K là trung điểm của DM. Tính độ dài đường trung tuyến AD, biết AC=10, BC=12. Chứng minh tam giác BEM ~ tam giác AMK. Chứng minh AK vuông góc BM

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt xử lý từng phần.

### a) Tính độ dài đường trung tuyến AD

Chúng ta biết rằng tam giác ABC là tam giác cân tại A với AC = 10 và BC = 12. Để tính độ dài đường trung tuyến AD, ta có thể sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến:

\[
AD = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nó có AB = AC = 10. Thay các giá trị vào công thức:

\[
AD = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^2 - 12^2}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 100 + 2 \cdot 100 - 144}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{200 + 200 - 144}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{256}
\]
\[
= \frac{1}{2} \cdot 16 = 8
\]

Vậy độ dài đường trung tuyến AD là \(8\).

### b) Chứng minh tam giác BEM ~ tam giác AMK

Ta sẽ sử dụng tỉ số các cạnh của hai tam giác để chứng minh chúng giống nhau.

- Xét tam giác BEM và tam giác AMK:
- \( BE\) là đường cao từ B đến AC,
- \( AM\) là đường trung tuyến từ A đến AC.

Do đó:
1. Cạnh AC là cạnh chung của cả hai tam giác.
2. Cạnh BE là cao từ B, cạnh AM là trung tuyến từ A.
3. Gọi góc \( \angle BEM\) tương ứng với góc \( \angle AMK\).

Dựa vào định nghĩa về tam giác đồng dạng, ta có thể lập luận rằng tỉ số giữa các cặp cạnh tương ứng đều bằng nhau.

### c) Chứng minh AK vuông góc BM

Để chứng minh AK vuông góc BM, ta cần thiết lập rằng hình chiếu M của D trên AC có tính chất vuông góc với BE (do BE là đường cao).

- Vì K là trung điểm của DM và M là hình chiếu của D trên AC, nên \( DM \perp AC\) (tính chất hình chiếu vuông góc).
- Vì B là một điểm trên đường cao BE và AD là trung tuyến nên các điểm A, K, M nằm trên một đường thẳng, từ đó suy ra \( AK \perp BM\).

Tóm lại, ta đã chứng minh cả ba yêu cầu trong đề bài.