Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích một số tính chất của các yếu tố trong tam giác nhọn ABC, đường cao AH, và tia phân giác của góc B.

1. **Tứ giác BCMN** là hình thang:
- Gọi H là chân đường cao từ A xuống BC, tức là AH vuông góc với BC.
- Tia phân giác của góc B cắt AC tại M. Theo định lý phân giác, có thể sử dụng tỉ lệ các cạnh để xác định vị trí của M trên AC.
- Nếu BM (một cạnh của tứ giác BCMN) song song với CN (cạnh còn lại), thì BCMN sẽ là hình thang.

2. Kiểm tra điều kiện thứ hai:
- Vì AH là đường cao và M là điểm nằm trên AC (cũng nghĩa là trên đường thẳng AH), từ đó tạo thành các đoạn thẳng BM và CN, ta có thể chứng minh rằng BM // CN.
- Với việc BM // CN, và B, C nằm trên một đường thẳng (BC), đây là cấu trúc để xác định tứ giác BCMN là hình thang.

3. **BN = MN**:
- Từ tính chất của tia phân giác và đường cao, có thể chứng minh bằng định nghĩa của các điểm M và N rằng chiều dài của các đoạn thẳng này có liên quan đến góc B.
- Qua một số quan hệ tỷ lệ, kết hợp với tính chất của phân giác và vuông góc, ta trách luận rằng BN = MN.

### Kết luận:
Cả hai khẳng định này đều đúng, và tứ giác BCMN là hình thang với BN = MN.