Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}
\]

với \( a + b + c = 1 \) và \( a, b, c > 0 \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số dương \( a, b, c \) như sau:

\[
(b+c) + (c+a) + (a+b) \geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}}
\]

Tính toán tổng các mẫu:

\[
(b+c) + (c+a) + (a+b) = 2(a+b+c) = 2 \times 1 = 2.
\]

Diễn đạt lại bất đẳng thức trên, ta có:

\[
2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}}.
\]

Ghi nhớ \( a + b + c = 1 \), ta có:

\[
2 \geq \frac{1^2}{\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}}.
\]

Điều này tương đương với:

\[
\frac{1}{\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}} \geq \frac{1}{2}.
\]

Dễ dàng thấy rằng đảo ngược bất đẳng thức này cho chúng ta điều ta cần:

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.
\]

Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.

### Đến với bất đẳng thức thứ hai:
Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
ab + bc + ca + a + b + c \geq \frac{3}{2}.
\]

Khi \( a + b + c = 1 \), ta có thể viết lại biểu thức:

\[
ab + bc + ca + a + b + c = ab + bc + ca + 1.
\]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một lần nữa cho các số \( ab, ac, bc \):

\[
ab + ac + bc \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.
\]

Theo bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương \( a, b, c \):

\[
\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \Longrightarrow abc \leq \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}.
\]

Thay vào kết quả của Cauchy-Schwarz:

\[
ab + ac + bc \geq 3\sqrt[3]{\left(\frac{1}{27}\right)} = 3 \times \frac{1}{3} = 1.
\]

Khi đó, ta có:

\[
ab + ac + bc + 1 \geq 1 + 1 = 2.
\]

Như vậy, bất đẳng thức này là đúng:

\[
ab + ac + bc + a + b + c \geq 2.
\]

Kết luận, chúng ta đã chứng minh cả hai bất đẳng thức:

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}
\]

và

\[
ab + ac + bc + a + b + c \geq 2.
\]