Gọi số viên bi của bạn An là \( a \) và số viên bi của bạn Bình là \( b \).

Theo điều kiện của bài toán, chúng ta có 2 phương trình sau:

1. Nếu bạn Bình cho bạn An \( x \) viên bi, thì bạn An sẽ có \( a + x \) và bạn Bình sẽ còn \( b - x \). Khi đó, ta có:
\[
a + x = 6(b - x)
\]

2. Nếu bạn An cho bạn Bình \( y \) viên bi, thì bạn An còn \( a - y \) và bạn Bình sẽ có \( b + y \). Khi đó, ta có:
\[
b + y = a - y
\]

Bây giờ, ta lần lượt giải các phương trình này.

### Phương trình 1:
Ta có:
\[
a + x = 6(b - x)
\]
Mở rộng:
\[
a + x = 6b - 6x
\]
Đưa \( x \) về một bên:
\[
a + 7x = 6b
\]
Suy ra:
\[
7x = 6b - a \quad (1)
\]

### Phương trình 2:
Ta có:
\[
b + y = a - y
\]
Mở rộng:
\[
b + y + y = a
\]
Suy ra:
\[
a = b + 2y \quad (2)
\]

### Thay thế vào phương trình 1
Từ phương trình (2), thay \( a \) vào phương trình (1):
\[
7x = 6b - (b + 2y)
\]
Giải phương trình trên:
\[
7x = 5b - 2y
\]
Ta có:
\[
5b = 7x + 2y \quad (3)
\]

### Tìm số viên bi ít nhất của bạn An
Dễ thấy \( x \) và \( y \) phải là số nguyên dương.

Như vậy ta có một hệ phương trình gồm những biến \( a, b, x, y \) với các điều kiện. Để có được giá trị cụ thể cho \( a \), ta cần tìm các số xác định cho \( b, x, y \).

Tìm ra một vài giá trị khả thi cho \( b \) và thử nghiệm:
- Đặt \( b = 2 \):
\[
5(2) = 7x + 2y \Rightarrow 10 = 7x + 2y
\]
Thử với \( x = 0 \) (không hợp lệ vì \( x \) phải là số dương), không có kết quả.

- Đặt \( b = 3 \):
\[
5(3) = 7x + 2y \Rightarrow 15 = 7x + 2y
\]

Thử giá trị \( x = 1 \):
\[
15 = 7(1) + 2y \Rightarrow 15 = 7 + 2y \Rightarrow 8 = 2y \Rightarrow y = 4
\]

Lúc này ta cần xác định \( a \):
\[
a = b + 2y = 3 + 8 = 11
\]

Tiếp tục thử nhiều giá trị của \( b \) cho đến khi không có nghiệm. Từ những kết quả trước, có thể chứng minh rằng \( a = 11 \) là kết quả nhỏ nhất mà tại đó cả hai điều kiện được thoả mãn.

Vậy số viên bi ít nhất mà bạn An có thể có là **11 viên**.