Cho \( ABC \) có trọng tâm \( G. \) Gọi \( I; J \) là 2 điểm xác định bởi \( \overline{IA} = 2\overline{IB} \) và \( 3\overline{JA} + 2\overline{JC} = \overline{0} \). Khi đó cặp mệnh đề sau đúng hay sai?

Với bài toán này, mình sẽ giúp bạn phân tích các mệnh đề dựa trên định nghĩa của các điểm \( I \) và \( J \) trong tam giác \( ABC \).

**Mệnh đề a)**: \( AI = 3AB \)

Điều này có thể sai, bởi vì theo điều kiện \( \overline{IA} = 2\overline{IB} \), điểm \( I \) sẽ nằm trên đoạn \( AB \) và tỷ lệ này không xác định \( AI \) = 3AB.

**Mệnh đề b)**: \( IJ = -2AB + \frac{2}{5}AC \)

Mệnh đề này cần kiểm tra dựa trên việc xác định vị trí của \( I \) và \( J \). Vì \( J \) nằm theo định nghĩa, có thể nó có hình chiếu liên quan đến \( A \) và \( C \).

**Mệnh đề c)**: \( IG = -\frac{5}{3}BA + \frac{1}{3}AC \)

Cần kiểm tra mối quan hệ giữa \( I \) và \( G \) (trọng tâm). Nếu \( G \) là trọng tâm, có thể sắp xếp lại mối liên hệ với các độ dài.

**Mệnh đề d)**: 3 điểm \( I, J, G \) thẳng hàng.

Điều này có thể kiểm tra bằng định nghĩa vị trí và các mối quan hệ giữa \( I \), \( J \) và \( G \).

Để đưa ra kết luận chính xác về từng mệnh đề, cần có thêm thông tin cụ thể hơn hoặc cả số liệu để tính toán. Tổng quát, nếu có thể xác định mối quan hệ của \( I \), \( J \) với một số điểm hình học, ta sẽ có câu trả lời cho từng mệnh đề. Bạn có thể làm lại các tính toán hoặc thử nghiệm với các tỉ lệ trên để tìm ra kết quả.