Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x + 4y + 2025 \), ta có thể nhóm các hạng tử liên quan lại với nhau.

Đầu tiên, ta có thể viết lại biểu thức \( P \) theo dạng sau:

\[
P = (x^2 + 2xy + 2y^2) + (2x + 4y) + 2025
\]

Ta nhận thấy rằng \( x^2 + 2xy + 2y^2 \) có thể được viết lại theo dạng bậc hai. Cụ thể, nó có thể được biện luận như sau:

\[
x^2 + 2xy + 2y^2 = x^2 + 2xy + y^2 + y^2 = (x + y)^2 + y^2
\]

Vậy nên ta có:

\[
P = (x+y)^2 + y^2 + (2x + 4y) + 2025
\]

Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) bằng cách xét biến thiên. Tuy nhiên, cách khác là ta có thể tính đạo hàm của \( P \) theo từng biến và tìm các điểm cực trị.

1. Tính đạo hàm theo \( x \) và đặt bằng 0:

\[
\frac{\partial P}{\partial x} = 2x + 2y + 2 = 0 \\
\Rightarrow 2x + 2y + 2 = 0 \\
\Rightarrow x + y + 1 = 0 \\
\Rightarrow x + y = -1
\]

2. Tính đạo hàm theo \( y \) và đặt bằng 0:

\[
\frac{\partial P}{\partial y} = 4y + 2x + 4 = 0 \\
\Rightarrow 4y + 2x + 4 = 0 \\
\Rightarrow 2y + x + 2 = 0 \\
\Rightarrow x + 2y = -2
\]

Bây giờ ta có hai phương trình:

\[
\begin{cases}
x + y = -1 \\
x + 2y = -2
\end{cases}
\]

Từ phương trình đầu tiên, ta có \( x = -1 - y \). Thay vào phương trình thứ hai:

\[
-1 - y + 2y = -2 \\
-y = -1 \\
y = 1
\]
Thay \( y = 1 \) vào phương trình \( x + y = -1 \):

\[
x + 1 = -1 \\
x = -2
\]

Vậy ta có \( x = -2 \) và \( y = 1 \). Thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = (-2)^2 + 2(1)^2 + 2(-2)(1) + 2(-2) + 4(1) + 2025 \\
= 4 + 2 - 4 - 4 + 4 + 2025 \\
= 2027
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \boxed{2027} \).