Để chứng minh tứ giác \( BDCH \) là hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

**1. Tính chất của trực tâm:**
- Trong tam giác \( ABC \), \( H \) là trực tâm có nghĩa là \( AH \perp BC \), \( BH \perp AC \), và \( CH \perp AB \).

**2. Các đường thẳng vuông góc:**
- Theo giả thiết, \( BD \) vuông góc với \( AB \) tại \( B \) và \( CD \) vuông góc với \( AC \) tại \( C \).

**3. Xét các góc:**
- Do \( AH \perp BC \) và \( BH \perp AC \), nên:
\[
\angle AHB = 90^\circ \quad (1)
\]
- Do \( BD \perp AB \), ta có:
\[
\angle ABD = 90^\circ \quad (2)
\]
- Do \( CD \perp AC \), ta có:
\[
\angle ACD = 90^\circ \quad (3)
\]

**4. Chứng minh rằng \( BC = DH \) và \( BH = CD \):**
- Từ các góc vuông (1), (2) và (3), ta có thể khẳng định rằng:
- \( BD \parallel CH \) (do cùng vuông góc với \( AC \)).
- \( CD \parallel BH \) (do cùng vuông góc với \( AB \)).

**5. Kết luận:**
- Vì \( BD \parallel CH \) và \( CD \parallel BH \), nên ta có tứ giác \( BDCH \) là một hình bình hành.

Hy vọng các bước lập luận trên giúp bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh rằng tứ giác \( BDCH \) là hình bình hành!