Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng đặc điểm của hình thoi và các công thức liên quan.

1. **Xác định độ dài của cạnh AB:**

Từ hình thoi, hai đường chéo AC và BD chia hình thoi thành bốn tam giác đều. Đường chéo AC sẽ chia góc A thành hai góc bằng nhau: góc A/2 = 40 độ.

Tam giác AOB (O là giao điểm của hai đường chéo) sẽ có:
- Góc AOB = 180 độ - góc A/2 - góc A/2 = 180 độ - 40 độ - 40 độ = 100 độ
- AO = AC/2 = 12/2 = 6 cm

Áp dụng định lý cos trong tam giác AOB:
\[
AB^2 = AO^2 + OB^2 - 2 \cdot AO \cdot OB \cdot \cos(AOB)
\]
Với OB = BD/2 (chúng ta sẽ tính sau), nhưng trước mắt, ta có thể tính AB bằng cách khác như sau.

2. **Tính chiều dài cạnh AB:**

Thay vì tính OB, chúng ta sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông AOB, trong đó ta có:
\[
AB = \frac{AO}{\cos(40^\circ)} = \frac{6}{\cos(40^\circ)}
\]
Tính giá trị này ra:
\[
\cos(40^\circ) \approx 0.7660 \Rightarrow AB \approx \frac{6}{0.7660} \approx 7.82 \text{ cm}
\]

3. **Tính chiều dài đường chéo BD:**

Để tính BD, ta sử dụng định luật sin trong tam giác AOB:
\[
\frac{AC/2}{\sin(40^\circ)} = \frac{BD/2}{\sin(100^\circ)}
\]
Ta có:
\[
BD = \frac{2 \cdot \sin(100^\circ) \cdot 6}{\sin(40^\circ)} = \frac{6 \cdot \sin(100^\circ)}{\sin(40^\circ)}
\]
Tính giá trị của sin:
\[
\sin(100^\circ) \approx 0.9848, \quad \sin(40^\circ) \approx 0.6428
\]
Thay vào công thức:
\[
BD = \frac{6 \cdot 0.9848}{0.6428} \approx \frac{5.889}{0.6428} \approx 9.16 \text{ cm}
\]

4. **Tính diện tích của hình thoi ABCD:**
Diện tích của hình thoi được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{AC \cdot BD}{2}
\]
Thay giá trị vào:
\[
S = \frac{12 \cdot 9.16}{2} = \frac{109.92}{2} \approx 54.96 \text{ cm}^2
\]

**Tóm lại:**
- Độ dài cạnh \( AB \approx 7.82 \text{ cm} \)
- Độ dài đường chéo \( BD \approx 9.16 \text{ cm} \)
- Diện tích hình thoi \( ABCD \approx 54.96 \text{ cm}^2 \)