Để chứng minh bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn trong tam giác ABC có ba góc nhọn, ta thực hiện như sau:

**a) Chứng minh B, C, H, K đồng thuộc một đường tròn:**

Ta biết rằng BH và CK là hai đường cao trong tam giác ABC. Do đó, H là chân đường cao từ A xuống BC và K là chân đường cao từ B xuống AC.

Nhìn vào các góc:
- Góc AHB là góc vuông tại H vì BH là đường cao.
- Góc AEC là góc vuông tại K vì CK là đường cao.

Bây giờ, ta xem xét góc BHC và góc BKC:
- Tổng các góc trong tam giác ABC có thể viết là:
\[
\angle BAH + \angle ABK + \angle ACB = 180^\circ.
\]
- Từ đó, ta có thể nhận thấy rằng:
\[
\angle BHC + \angle BKC = \angle BAH + \angle ABK = 180^\circ.
\]

Vì vậy, tổng của hai góc BHC và BKC bằng 180 độ thể hiện rằng B, C, H, K thuộc cùng một đường tròn (do đồng vị với một cặp góc ở điểm trên cùng một đường tròn).

**b) So sánh độ dài của BC và HK:**

Để so sánh độ dài của đoạn thẳng BC và HK, ta sử dụng tính chất của các đường cao trong tam giác.

- HK là đoạn thẳng nối hai chân đường cao và thẳng đứng với cạnh BC.
- Theo định lý về cạnh và đường cao trong tam giác, ta có thể thấy rằng HK (là chiều cao từ A xuống BC) là chiều cao lớn hơn đoạn BC (cạnh đối diện).

Tuy nhiên, một cách trực quan và dễ hiểu hơn, ta có thể áp dụng định lý Sin trong tam giác ABC để suy ra rằng cạnh BC sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng HK. Do đó:

\[
BC > HK.
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên một đường tròn và cũng đã so sánh được độ dài của BC với HK.