Để chứng minh các phần của bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo từng bước như sau:

### a) Chứng minh \( \triangle ACK \) vuông.

1. **Giả thiết:** Cho tam giác nhọn \( ABC \) với đường cao \( AH \) từ \( A \) đến cạnh \( BC \) tại \( H \). Ta có ba điểm \( A \), \( B \), \( C \) nằm trên một đường tròn \( O \).

2. **Tính chất của ba điểm trên đường tròn:** Vì \( A \), \( B \), \( C \) nằm trên cùng một đường tròn, nên góc \( \angle ABC \) (góc ở điểm \( B \)) sẽ có tính chất liên quan đến các dây cung.

3. **Áp dụng tính chất:** Ta có:
\[
\angle ACB = \angle AHB
\]
Do \( H \) là chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \), ta có \( AH \perp BC \).

4. **Kết luận:** Vì \( AH \perp BC \), và \( A \), \( B \), \( H \), \( C \) nằm trên một đường tròn, vậy:
\[
\angle ACB = 90^\circ
\]
Do đó, \( \triangle ACK \) vuông tại \( C \).

### b) Chứng minh \( \overline{OA} = \overline{BH} \).

1. **Đường tròn:** \( O \) là trung tâm của đường tròn đi qua \( A \), \( B \), \( C \).

2. **Các đoạn thẳng:** Bởi vì \( A \), \( B \), \( O \) là điểm nằm trên đường tròn, và \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \). Khi đó, đoạn \( OA \) là bán kính của đường tròn.

3. **Tính chất của tam giác:** Ta có:
\[
OA = OB
\]
Vì chúng là bán kính của cùng một đường tròn.

4. **Công thức chiều dài:** Gọi \( OH \) là trung điểm của \( BC \). Đoạn thẳng \( BH \) sẽ tính theo công thức:
\[
BH = \overline{OB}
\]

5. **Kết luận:** Như vậy, \( \overline{OA} = \overline{BH} \), vì \( OA \) và \( OB \) đều là bán kính.

Tóm lại, cả hai phần bài toán đều được chứng minh dựa trên tính chất của đường tròn và các góc vuông trong tam giác vuông.