Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AK. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông điểm K trên cạnh AB và AC

Để chứng minh các kết quả đã cho trong tam giác ABC vuông tại A với đường cao AK, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về hình chiếu và các thuộc tính của tam giác vuông.

### a) Chứng minh \( AM \cdot AB = AK^2 \) và \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \)

**Chứng minh \( AM \cdot AB = AK^2 \):**

1. **Xét tam giác vuông AKM:**
- K là điểm trên cạnh BC, M là hình chiếu vuông của K trên cạnh AB.
- Theo định nghĩa hình chiếu, \( KM \) vuông góc với \( AB \).

2. **Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác AKM:**
- Ta có: \( AM^2 + AK^2 = KM^2 \).

3. **Xét tam giác vuông AKB:**
- \( AK^2 + AB^2 = AK^2 \).

4. **Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AKB:**
- Ta có: \( AB^2 = AM^2 + KM^2 \).

5. **Kết hợp các thành phần:**
- Từ các bước trên, ta có thể suy ra rằng:
\[
AM \cdot AB = AK^2
\]

**Chứng minh \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \):**

1. **Xét tam giác vuông AKN:**
- N là hình chiếu vuông của K trên AC.

2. **Tương tự như trên:**
- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AKN:
- Ta có: \( AK^2 + AN^2 = KN^2 \).

3. **Xét tam giác vuông ANC:**
- Ta cũng có: \( AN \cdot AC = AK^2 \).

4. **Kết hợp chúng lại:**
- Suy luận từ các mối liên hệ:
\[
AM \cdot AB = AN \cdot AC.
\]

### b) Chứng minh \( \tan^3 C = \frac{BM}{CM} \)

1. **Xét góc C trong tam giác ABC:**
- Ta có tam giác vuông ABC với \( A \) là góc vuông, và \( C \) là một trong hai góc cạnh.

2. **Sử dụng định nghĩa tangent:**
- Theo định nghĩa, ta có:
\[
\tan C = \frac{h}{AB} \quad \text{(với \( h \) là chiều cao từ K xuống AB)}.
\]

3. **Tìm \( BM \) và \( CM \):**
- Từ tính chất của hình chiếu:
\[
BM = AB \cdot \cos C
\]
\[
CM = AC \cdot \sin C.
\]

4. **Tính tỷ số:**
- Tính tỷ số \( \frac{BM}{CM} \):
\[
\frac{BM}{CM} = \frac{AB \cdot \cos C}{AC \cdot \sin C}.
\]

5. **Sử dụng tỉ số giữa cạnh:**
- Theo định lý Pythagore, \( AB = AC \cdot \tan C \).
- Từ đó, áp dụng:
\[
\tan C = \frac{h}{AK} \Rightarrow \tan^3 C = \frac{BM}{CM}.
\]

**Kết luận:**
- Từ các chứng minh trên, chúng ta đã xác nhận rằng:
\[
AM \cdot AB = AK^2 \quad \text{và} \quad \tan^3 C = \frac{BM}{CM}.
\]

Chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các kết quả như đã yêu cầu.