Cho tam giác ABC vuông cân tại A đường cao AH. Gọi M; N lần lượt là hình chiếu của h trên cạnh AB; AC

Để giải bài toán, trước hết ta cần phân tích và sử dụng tính chất của tam giác vuông cân và các hình chiếu trong tam giác.

### Phân tích tam giác ABC

1. **Tam giác ABC vuông cân tại A**:
- Gọi AB = AC = a (vì tam giác cân)
- Ở đây, cho trước AB = 12 cm, AC = 16 cm (sẽ có một chút không khớp nếu 2 cạnh này không bằng nhau, do đó có thể là AB và AC không đều và giả sử ta gọi là cạnh dài hoặc ngắn, ta tiếp tục phân tích với tựa đề là một tam giác vuông)
- Cạnh BC (cạnh huyền) có thể được tính bằng định lý Pythagoras:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

2. **Đường cao AH**:
- Để tính AH, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác.
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC
\]
Diện tích cũng có thể được tính bằng:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\]
Do đó, ta có:
\[
\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot AH
\]
Giải phương trình:
\[
12 \cdot 16 = 20 \cdot AH \implies AH = \frac{192}{20} = 9.6 \text{ cm}
\]

3. **Độ dài BH và HC**:
- Do AC = 16 cm và AB = 12 cm, ta có:
\[
BH = \frac{AC}{BC} \cdot AB = \frac{16}{20} \cdot 12 = 9.6 \text{ cm}
\]
\[
HC = \frac{AB}{BC} \cdot AC = \frac{12}{20} \cdot 16 = 9.6 \text{ cm}
\]

### Tóm tắt lại (phần a):
- Độ dài BC = 20 cm
- Độ dài AH = 9.6 cm
- Độ dài BH = 9.6 cm
- Độ dài HC = 9.6 cm

### Phần b: Chứng minh BI.BK = BH.BC
Giả sử K là điểm trên đoạn NC, và AI vuông góc với BK.
- Từ định nghĩa của hình chiếu vuông góc, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông để áp dụng định lý Pythagore hoặc tỉ số giữa các đoạn thẳng:
- Sử dụng tính chất tỉ lệ với đoạn thẳng, chứng minh theo cách tương tự để chứng minh BI.BK = BH.BC bằng cách dùng hình chiếu vuông góc và các tỷ số tương ứng.

### Phần c: chứng minh tỉ lệ góc
- Chứng minh rằng cùng từ phương vị bằng nhau của 2 tam giác BHI và BKC là đủ để chỉ ra rằng mọi tỷ số tỉ lệ đường chéo và cạnh đều thống nhất.

Sử dụng các tỉ số sin và cos:
- \(\sin(AKB)\) và \(\cos(KAH)\) có mối quan hệ với nhau thông qua độ dài các cạnh trong tam giác.

Xin lưu ý rằng do hướng dẫn của bài toán, quá trình chứng minh có thể yêu cầu kiến thức nâng cao về hình học.

### Tóm lại
Những phần trên đây chỉ là một trong các cấu hình giải thích chi tiết cho hành động thuyết phục, và một trong số các cách có thể được khẳng định rõ ràng với cách sử dụng cụ thể hơn cho yêu cầu đồng dạng và mối quan hệ giữa điểm I, K trên cạnh BC, AB.