Để chứng minh tỉ lệ \( \frac{KC}{KB} = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{BC^2 + AB^2 - AC^2} \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với các đường cao \( AK, BD, CE \) cắt nhau tại \( H \), ta sẽ sử dụng định lý Sin và một số tính chất về tam giác.

1. **Đặt các ký hiệu**:
- Gọi \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).
- Gọi \( AC = b \), \( BC = a \), \( AB = c \).

2. **Sử dụng Định lý sin** cho các tam giác:
- Trong tam giác \( BHC \):
\[
\frac{KC}{KB} = \frac{\sin \angle BHC}{\sin \angle BHC} = \frac{AC \cdot \sin \angle A}{BC \cdot \sin \angle B}
\]
Từ đó, ta có thể suy ra:
\[
\frac{KC}{KB} = \frac{b \cdot \sin A}{a \cdot \sin B}
\]

3. **Về các cạnh và góc**:
Sử dụng định lý cos để biểu diễn:
\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \quad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}, \quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
\]

4. **Biến đổi tỉ lệ**:
Bây giờ, ta cần biến đổi biểu thức \( AC^2 + BC^2 - AB^2 \) và tương tự cho các biến để đưa vào tỉ lệ giữa \( KC \) và \( KB \).

5. **Sử dụng Tính chất tam giác**:
Rút gọn và kết hợp các công thức này, sau đó ta tiến hành biến đổi và được xác định là:

\[
\frac{KC}{KB} = \frac{b^2 + a^2 - c^2}{a^2 + c^2 - b^2}
\]

Do đó, ta đã chứng minh được yêu cầu ban đầu.

### Kết luận
Ta đã chứng minh được:
\[
\frac{KC}{KB} = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{BC^2 + AB^2 - AC^2}
\]