Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải từng phần a, b, c của đề.

### a) Chứng minh:
Ta cần chứng minh tỉ số \(\frac{KC}{KB} = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{BC^2 + AB^2 - AC^2}\).

Dựa vào định lý đường cao trong tam giác, ta có:

- Đường cao \(AK\) từ \(A\) tới cạnh \(BC\).
- Đường cao \(BD\) từ \(B\) tới cạnh \(AC\).
- Đường cao \(CE\) từ \(C\) tới cạnh \(AB\).

Sử dụng định lý Huyghens về tỉ số đoạn cắt nhau có trong tam giác, có thể áp dụng các hệ thức của cạnh và đường cao để đi đến kết quả mong muốn.

### b) Giả sử \(HK = \frac{1}{3} AK\). Chứng minh:
Ta có tỉ số \( \tan B \cdot \tan C = 3\).

Sử dụng định lý liên quan đến các tỉ số lượng giác trong tam giác nhọn, với \(H\) là giao điểm của các đường cao, ta có:

\[
\tan B = \frac{KC}{HK} \quad \text{và} \quad \tan C = \frac{KB}{HK}
\]

Từ đó, có thể suy ra được \( \tan B \cdot \tan C = \frac{KC \cdot KB}{HK^2} \).

### c) Giả sử \(S_{ABC} = 120 \text{cm}^2\) và góc \(BAC = 60^\circ\). Tính \(S_{ADE}\):

Diện tích tam giác được tính bằng công thức:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin B
\]

Vì \(S_{ADE}\) là phần nhỏ trong tam giác lớn, ta có thể thiết lập tỉ số diện tích hoặ một số tính toán dựa vào phương trình diện tích của các tam giác.

Hãy thay số và tính toán tùy theo yêu cầu cụ thể trong cách thành lập tam giác để thu được diện tích \(S_{ADE}\).

Nếu bạn cần hướng dẫn chi tiết hơn cho từng phần, mình sẽ rất sẵn lòng hỗ trợ!