Để chứng minh đẳng thức \( (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = ab + bc + ca - x^2 \), ta làm theo các bước như sau:

1. **Tính từng biểu thức bên trái**:

- Tính \( (x - a)(x - b) \):
\[
(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab
\]

- Tính \( (x - b)(x - c) \):
\[
(x - b)(x - c) = x^2 - (b + c)x + bc
\]

- Tính \( (x - c)(x - a) \):
\[
(x - c)(x - a) = x^2 - (c + a)x + ca
\]

2. **Cộng các biểu thức lại**:

\[
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a)
\]

\[
= [x^2 - (a + b)x + ab] + [x^2 - (b + c)x + bc] + [x^2 - (c + a)x + ca]
\]

- Cộng x^2:
\[
= 3x^2 - [(a + b) + (b + c) + (c + a)]x + (ab + bc + ca)
\]

- Tính hệ số trước x:
\[
= 3x^2 - (2a + 2b + 2c)x + (ab + bc + ca)
\]
\[
= 3x^2 - 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca)
\]

3. **Sử dụng điều kiện \( 2x = a + b + c \)**:

- Khi thay \( a + b + c = 2x \) vào biểu thức:
\[
= 3x^2 - 2(2x)x + (ab + bc + ca)
\]
\[
= 3x^2 - 4x^2 + (ab + bc + ca)
\]
\[
= -x^2 + (ab + bc + ca)
\]

4. **Kết luận**:

Vậy ta có:
\[
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = ab + bc + ca - x^2
\]

Điều này chứng minh rằng đẳng thức đã cho là đúng.