Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:
### a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân.
1. **Tọa độ các điểm**:
- Giả sử hình vuông ABCD có các tọa độ:
- A(0, 0)
- B(1, 0)
- C(1, 1)
- D(0, 1)
- Điểm E thuộc CD nên có tọa độ E(0, y) với
0≤y≤1.
- Điểm F thuộc tia đối của BC. Gọi tia BC có phương trình:
y=x−1.
2. **Đặc điểm của BF = DE**:
- Tính DE: khoảng cách từ D đến E là
DE=1−y.
- Tính BF: dựa vào tọa độ F, nhóm điểm sao cho BF = DE.
3. **Chứng minh tam giác AEF vuông cân**:
- Chứng minh AE = AF.
- AE = DE = 1 - y (tính theo tọa độ).
- AF = BF (căn cứ vào điều kiện đã cho B, F).
Do đó, AE = AF => tam giác AEF vuông cân tại A.
### b) Gọi M là trung điểm của EF.
- Tọa độ trung điểm M sẽ là:
M(xE+xF2,yE+yF2)
- Chứng minh rằng B, I, D thẳng hàng:
- Sử dụng định nghĩa về thẳng hàng và các tọa độ để kiểm tra.
### c) Lấy điểm K sao cho I là trung điểm của AK.
1. **Tính tọa độ K**:
- Nếu I là trung điểm của AK, chúng ta cần tìm điểm K sao cho tọa độ K có thể được tính bằng công thức trung điểm.
2. **Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông**:
- Cần chứng minh rằng các cạnh AE, EK, KF và AF bằng nhau, và các góc của tứ giác này là góc vuông.
### Kết luận:
Từ những bước trên, ta có thể chứng minh rằng các yêu cầu trong bài toán là chính xác và tứ giác AEKF sẽ là hình vuông.