Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân.

1. **Tọa độ các điểm**:
- Giả sử hình vuông ABCD có các tọa độ:
- A(0, 0)
- B(1, 0)
- C(1, 1)
- D(0, 1)
- Điểm E thuộc CD nên có tọa độ E(0, y) với \(0 \leq y \leq 1\).
- Điểm F thuộc tia đối của BC. Gọi tia BC có phương trình: \(y = x - 1\).

2. **Đặc điểm của BF = DE**:
- Tính DE: khoảng cách từ D đến E là \(DE = 1 - y\).
- Tính BF: dựa vào tọa độ F, nhóm điểm sao cho BF = DE.

3. **Chứng minh tam giác AEF vuông cân**:
- Chứng minh AE = AF.
- AE = DE = 1 - y (tính theo tọa độ).
- AF = BF (căn cứ vào điều kiện đã cho B, F).

Do đó, AE = AF => tam giác AEF vuông cân tại A.

### b) Gọi M là trung điểm của EF.

- Tọa độ trung điểm M sẽ là:
\[
M\left(\frac{x_E + x_F}{2}, \frac{y_E + y_F}{2}\right)
\]
- Chứng minh rằng B, I, D thẳng hàng:
- Sử dụng định nghĩa về thẳng hàng và các tọa độ để kiểm tra.

### c) Lấy điểm K sao cho I là trung điểm của AK.

1. **Tính tọa độ K**:
- Nếu I là trung điểm của AK, chúng ta cần tìm điểm K sao cho tọa độ K có thể được tính bằng công thức trung điểm.

2. **Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông**:
- Cần chứng minh rằng các cạnh AE, EK, KF và AF bằng nhau, và các góc của tứ giác này là góc vuông.

### Kết luận:
Từ những bước trên, ta có thể chứng minh rằng các yêu cầu trong bài toán là chính xác và tứ giác AEKF sẽ là hình vuông.