Để giải bất phương trình \( \frac{x + x}{x - 1} \leq 4 \), ta sẽ làm theo các bước sau:

Bước 1: Sắp xếp lại bất phương trình

Phương trình ban đầu có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{2x}{x - 1} \leq 4
\]

Bước 2: Đưa tất cả về một phía

Ta đưa \(4\) về phía bên trái:

\[
\frac{2x}{x - 1} - 4 \leq 0
\]

Bước 3: Thao tác với biểu thức

Ta cần đưa biểu thức về cùng mẫu:

\[
\frac{2x - 4(x - 1)}{x - 1} \leq 0
\]

Giải thích rõ hơn:

\[
2x - 4(x - 1) = 2x - 4x + 4 = -2x + 4
\]

Vậy ta có biểu thức:

\[
\frac{-2x + 4}{x - 1} \leq 0
\]

Bước 4: Đặt biểu thức bằng 0

Giải phương trình:

\[
-2x + 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2
\]

Bước 5: Xác định điểm không xác định

Xét mẫu \(x - 1 = 0 \implies x = 1\) (điểm không xác định).

Bước 6: Xét dấu biểu thức

Ta có các điểm cần xét: \(x = 1\) và \(x = 2\). Chia đoạn số thực thành các khoảng:

1. \( (-\infty, 1) \)
2. \( (1, 2) \)
3. \( (2, +\infty) \)

Ta sẽ xét dấu của biểu thức \(\frac{-2x + 4}{x - 1}\) trong từng khoảng:

- **Khoảng \( (-\infty, 1) \)**: Chọn \(x = 0\) :
\[
\frac{-2(0) + 4}{0 - 1} = \frac{4}{-1} < 0 \quad \text{(có dấu âm)}
\]

- **Khoảng \( (1, 2) \)**: Chọn \(x = 1.5\) :
\[
\frac{-2(1.5) + 4}{1.5 - 1} = \frac{-3 + 4}{0.5} = \frac{1}{0.5} > 0 \quad \text{(có dấu dương)}
\]

- **Khoảng \( (2, +\infty) \)**: Chọn \(x = 3\) :
\[
\frac{-2(3) + 4}{3 - 1} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} < 0 \quad \text{(có dấu âm)}
\]

Bước 7: Kết luận

\[ \frac{-2x + 4}{x - 1} \leq 0 \] có dấu âm ở các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (2, +\infty) \).

Ta cũng cần phải kiểm tra các điểm biên:
- Tại \(x = 2\), bất phương trình bằng \(0\) (thỏa mãn).
- Tại \(x = 1\), không xác định (không thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

\[
(-\infty, 1) \cup [2, +\infty)
\]

Đó là lời giải cho bất phương trình đã cho.