Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), góc D = 60 độ, AD=AB. Chứng minh DB là phân giác của góc ADC? Chứng minh BC vuông góc BD

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta có thể theo dõi các bước như sau:

### a) Chứng minh DB là phân giác của góc ADC

Trong hình thang ABCD (AB // CD), ta có:

- \( \angle D = 60^\circ \)
- \( AD = AB \) (hình thang cân)

Trước tiên, vì ABCD là hình thang cân nên ta có \( \angle A = \angle B \). Mặt khác, tổng của các góc trong tứ giác ABCD là \( 360^\circ \).

Ta sẽ tính góc A và B:

\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
\]

Vì \( \angle C = \angle D = 60^\circ \), ta có:

\[
\angle A + \angle B + 60^\circ + 60^\circ = 360^\circ
\]
\[
\angle A + \angle B = 240^\circ
\]

Vì \( \angle A = \angle B \), ta có:

\[
2\angle A = 240^\circ \implies \angle A = \angle B = 120^\circ
\]

Bây giờ, ta xem xét tam giác \( \triangle ADB \):

- Chúng ta đã biết rằng \( AD = AB \) và \( \angle ADB = 120^\circ \).
- Do đó, tam giác \( ADB \) là tam giác cân với \( AD = AB \).

Vì vậy, theo tính chất của tam giác cân, \( DB \) sẽ là phân giác của góc \( \angle ADC \).

### b) Chứng minh BC vuông góc BD

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng \( BC \) vuông góc với \( BD \).

Ta đã chứng minh được rằng:

- \( \angle DAB = 120^\circ \)
- \( \angle D = 60^\circ \)
- Tam giác \( ABD \) là tam giác cân.

Tính chất của hình thang cân:

1. Hai góc \( \angle A \) và \( \angle B \) kề bên với đáy (tức là \( AD \) và \( BC \)) có tổng là 180 độ.
2. Trong tam giác \( ABD \), \( \angle ADB = 120^\circ \).

Bây giờ, ta tính xem góc \( \angle DBC \):

\[
\angle DBC = \angle BAD = \angle A = 120^\circ
\]
\[
\angle BDC = 180^\circ - \angle DBC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
\]

Do đó, từ hai góc \( \angle DBC \) và \( \angle BDC \):

\[
\angle DBC + \angle BDC = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ
\]

Vì vậy, ta có:

- Tam giác \( BDC \) có góc \( \angle BDC = 60^\circ \) và góc \( \angle DBC = 120^\circ \).

Điều này cho thấy rằng \( BD \) vuông góc với \( BC \), và ta có thể kết luận rằng \( BC \) vuông góc với \( BD \).

**Kết luận:**
- Từ hai chứng minh trên, ta đã chứng minh rằng \( DB \) là phân giác của góc \( ADC \) và \( BC \) vuông góc với \( BD \).