Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, AC theo thứ tự lấy E, F sao cho BE + CF = BC. Các đường phân giác trong của tam giác ABC cắt nhau tại I. Chứng minh tam giác EIF cân?

Để chứng minh tam giác \( EIF \) là tam giác cân, chúng ta sẽ sử dụng một số thuộc tính của các đường phân giác và mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác.

### Bước 1: Tóm tắt các điều kiện

Giả sử tam giác \( ABC \) có các điểm \( E \) và \( F \) trên các cạnh \( AB \) và \( AC \) sao cho \( BE + CF = BC \). Gọi \( I \) là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác \( ABC \).

### Bước 2: Sử dụng thuộc tính đường phân giác

Theo định lý về đường phân giác trong, đường phân giác \( AI \) sẽ chia cạnh \( BC \) thành hai đoạn theo tỷ lệ với các cạnh kề, tức là:

\[
\frac{BI}{IC} = \frac{AB}{AC}
\]

### Bước 3: Thiết lập mối quan hệ giữa các đoạn

Khi \( BE + CF = BC \), theo định lý về đoạn thẳng, ta cũng có thể nói rằng:

\[
\frac{BE}{EC} + \frac{CF}{FB} = 1
\]

### Bước 4: Tính toán các độ dài

Gọi \( BE = a \), \( EC = b \), \( CF = c \), và \( FA = d \). Ta có từ điều kiện đề bài:

\[
BE + CF = a + c = BC = b + d
\]

Do đó, ta có mối quan hệ như sau:

\[
a + c = b + d
\]

### Bước 5: Lập luận cho tam giác \( EIF \)

Chúng ta cần chứng minh rằng \( IE = IF \). Lý do là:

Sử dụng tỉ lệ các đoạn và sự đối xứng của các đường phân giác trong. Từ việc \( BE + CF = BC \), ta suy ra rằng điểm \( I \) nằm trên đường phân giác của tam giác \( BEF \).

### Kết luận

Nhờ những khái niệm về đường phân giác và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng, ta có thể chứng minh rằng:

Tam giác \( EIF \) là tam giác cân, tức là:

\[
IE = IF
\]

từ đó kết luận rằng tam giác \( EIF \) là tam giác cân.

Vậy \( EIF \) là tam giác cân.