Để giải bài toán, ta bắt đầu với phương trình:

\[
5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0.
\]

Ta có thể viết lại phương trình này để sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Giả sử \( ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \) với các hệ số đã cho, ta có:

- \( a = 5 \)
- \( b = 8 \)
- \( c = 5 \)
- \( d = -2 \)
- \( e = 2 \)
- \( f = 2 \)

Ta cũng có thể xem phương trình này như một hình ellipse. Đầu tiên, ta sử dụng hệ số trước để đơn giản hóa:

\[
x^2 + \frac{8}{5}xy + y^2 - \frac{2}{5}x + \frac{2}{5}y + \frac{2}{5} = 0.
\]

Để tìm nghiệm \( (x, y) \), ta sẽ xem xét đường đi của các nghiệm. Một phương pháp đơn giản là thử các giá trị cụ thể cho \( x \) và \( y \).

Ghi chú rằng nếu \( x \) và \( y \) không có giá trị nào cụ thể, thì ta có thể thử với các giá trị \( x = 0 \) và \( y = 0 \):

1. Thử \( x = 0, y = 0 \):
\[
5(0)^2 + 5(0)^2 + 8(0)(0) - 2(0) + 2(0) + 2 = 2 \neq 0.
\]

2. Thử \( x = 1, y = 0 \):
\[
5(1)^2 + 5(0)^2 + 8(1)(0) - 2(1) + 2(0) + 2 = 5 - 2 + 2 = 5 \neq 0.
\]

3. Thử \( x = -1, y = 0 \):
\[
5(-1)^2 + 5(0)^2 + 8(-1)(0) - 2(-1) + 2(0) + 2 = 5 + 2 + 2 = 9 \neq 0.
\]

Cần tìm nhiều hơn giá trị. Ta thử với \( y = -1 \) và tìm giá trị của \( x \):

\[
5x^2 + 5(-1)^2 + 8x(-1) - 2x + 2(-1) + 2 = 0.
\]

Giải phương trình sẽ tìm được nghiệm cụ thể cho \( x \).

Khi đã tìm được nghiệm, điều quan trọng là tính \( M = (x+y)^{2013} + (x-2)^{2024} + (y+1)^{2025} \).

Sau khi kiểm tra với các giá trị tìm được, ta có thể thấy rằng kết quả cụ thể sẽ xuất hiện từ phép tính từng phần của biểu thức \( M \).

Hãy phát hiện ra nghiệm của phương trình ban đầu và tính giá trị. Nếu nghiệm sao cho \( x+y = 0 \) thì ta có:

\[
M = 0^{2013} + (x-2)^{2024} + (y+1)^{2025}.
\]

Nếu \( x = 2, y = -1 \), ta có \( M = 0 + 0 + 0 = 0 \).

**Kết luận:** Nếu nghiệm của phương trình dẫn đến việc tất cả biểu thức trong \( M \) đều bằng 0, thì giá trị \( M \) sẽ là 0.