Bài toán này tập trung vào các tính chất hình học trong tam giác nhọn. Dưới đây là các phần của bài toán đã được phân tích:

### a) Chứng minh AH vuông góc BC
Trong tam giác nhọn \( ABC \), khi hạ đường cao \( BE \) từ \( B \) và \( CF \) từ \( C \) thì điểm \( H \) là giao điểm của hai đường cao. Theo định nghĩa, đường cao từ đỉnh lên cạnh (hoặc kéo dài của cạnh) luôn vuông góc với cạnh đó. Do đó, \( AH \) sẽ vuông góc với \( BC \).

### b) Chứng minh BHCK là hình bình hành
Để chứng minh tứ giác \( BHCK \) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng:
- \( BH \) // \( CK \) và \( CH \) // \( BK \) hoặc tương đương, chiều dài các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Từ tính chất của hình vuông, ta biết các đoạn thẳng này có độ dài bằng nhau.

### c) Chứng minh H, M, K thẳng hàng
Điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \). Xét các đường chéo \( BK \) và \( CH \), chúng đồng quy tại \( K \) với các góc bằng nhau hình thành do các đường vuông góc. Khi đó, ta có thể chứng minh rằng \( H \), \( M \), và \( K \) thẳng hàng qua các tính chất của hình học.

### d) Từ H vẽ HG ⊥ BC
Từ điểm \( H \), vẽ đường thẳng \( HG \) vuông góc với \( BC \). Khi đó, chọn điểm \( I \) trên \( HG \) sao cho \( HG = GI \). Chứng minh rằng tứ giác \( BIKC \) là hình thang cân:
- Sử dụng tính chất của các đường thẳng vuông góc và các đoạn thẳng song song trong tam giác, ta có thể chỉ ra rằng \( BI = CI \) và các góc tại \( B \) và \( C \) là bằng nhau với \( \angle BIK = \angle CIK \).

Mỗi phần trong bài toán này dựa trên các định lý và tính chất hình học cơ bản của tam giác và hình học phẳng. Bạn có thể làm rõ các bước chứng minh với hình vẽ thích hợp để hỗ trợ vào từng phần.