Để rút gọn biểu thức:

\[
\frac{7}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x} - \frac{3}{x-1}
\]

Bước 1: Tìm mẫu số chung. Mẫu số chung của các phân thức là \(x(x-1)\).

Bước 2: Chuyển đổi từng phân thức về mẫu số chung:

\[
\frac{x+1}{x} = \frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2 - 1}{x(x-1)}
\]

\[
\frac{3}{x-1} = \frac{3x}{x(x-1)}
\]

Bước 3: Thay thế vào phương trình:

\[
\frac{7}{x(x-1)} = \frac{x^2 - 1 - 3x}{x(x-1)}
\]

Bước 4: Rút gọn bên phải:

\[
x^2 - 1 - 3x = x^2 - 3x - 1
\]

Bước 5: Thiết lập phương trình:

\[
7 = x^2 - 3x - 1
\]

Bước 6: Chuyển về dạng phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 3x - 8 = 0
\]

Bước 7: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3 - \sqrt{41}}{2}
\]

Đồng thời, điều kiện \(x \neq 0\) và \(x \neq 1\) để các phân thức xác định.