Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi O là trung điểm của BC. Qua O kẻ OM vuông góc với AB tai M, ON vuông góc với AC tại N

Để giải bài toán này, ta bắt đầu với các thông tin đã cho.

### a) Chứng minh ANOM là hình chữ nhật

Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên:

- AB vuông góc với AC.
- O là trung điểm của BC.
- OM vuông góc với AB tại M.
- ON vuông góc với AC tại N.

Để chứng minh ANOM là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai điều: AN // OM và AM // ON.

1. **Chứng minh AN // OM**:
- Vì ON vuông góc với AC (tức là ON tạo với đường thẳng AC một góc 90 độ), và vì AB vuông góc với AC, nên AB sẽ song song với đường thẳng ON.
- Do đó, MO sẽ vuông góc với AB là đường thẳng OM.
- Suy ra AN // OM.

2. **Chứng minh AM // ON**:
- Với OM vuông góc với AB, như trên đã chứng minh, OM tạo một góc 90 độ với AB và AN cũng song song với AB.
- Suy ra, đường thẳng ON cũng vuông góc với AC.
- Nên AM sẽ vuông góc với đường thẳng ON.

Kết luận: ANOM là hình chữ nhật vì AN // OM và AM // ON, và mọi góc đều là góc vuông.

### b) Chứng minh AOCD là hình thoi

Từ phần a), ta đã có các thông tin sau:
- O là trung điểm của BC.
- NO = ND (theo đề bài).

Để chứng minh AOCD là hình thoi, ta cần chứng minh bốn cạnh AO, OC, CD, và DA đều bằng nhau.

1. **AO** và **OC**:
- Bởi vì O là trung điểm của BC và tức là O chia BC thành hai đoạn bằng nhau.
- Ta có: AO = OC (cùng là nửa cạnh BC).

2. **NO = ND**:
- Ta có NO = ND theo yêu cầu của đề bài.
- Điều này có nghĩa là độ dài của hai đoạn thẳng này là bằng nhau.

3. **N nằm trên phía đối diện với O**:
- Theo cách mà ta đã định nghĩa D nằm trên tia đối của ON, nó cũng song song với ON (theo tính chất vuông góc).

Kết luận: Ta có AO = OC và NO = ND, hay tất cả bốn cạnh AO, OC, CD, DA đều bằng nhau. Do đó, AOCD là hình thoi.

### Tổng kết:

- ANOM là hình chữ nhật.
- AOCD là hình thoi.