Để lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \( y = x^2 - 2x - 3 \), chúng ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm điểm cực trị
Hàm số là hàm bậc 2, có dạng tổng quát \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = 1, b = -2, c = -3 \).

Tìm đỉnh của parabol:
- Toạ độ x của đỉnh:
\[
x_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1
\]

- Tính y tại điểm x = 1:
\[
y = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
\]

#### Đỉnh của hàm số:
Điểm đỉnh là \( (1, -4) \).

### Bước 2: Tìm các điểm cắt trục hoành
Giải phương trình bậc 2 \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) bằng cách dùng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
\]
\[
x_1 = 3, x_2 = -1
\]

### Bước 3: Tính giá trị hàm số tại các điểm
Chúng ta sẽ tính giá trị hàm số tại các điểm:
- \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 \)
- \( x = 0 \): \( y = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 \)
- \( x = 1 \): \( y = -4 \) (đã tính)
- \( x = 2 \): \( y = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 \)
- \( x = 3 \): \( y = 3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 \)

### Bước 4: Lập bảng biến thiên
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & -1 & 1 & 3 & +\infty \\
\hline
y & +\infty & 0 & -4 & 0 & +\infty \\
\hline
\end{array}
\]
- Hàm số giảm từ \( -\infty \) đến \( x = 1 \)
- Hàm số tăng từ \( x = 1 \) đến \( +\infty \)

### Bước 5: Vẽ đồ thị
Đồ thị của hàm số \( y = x^2 - 2x - 3 \) là một parabol mở lên với đỉnh tại điểm \( (1, -4) \) và cắt trục hoành tại \( x = -1 \) và \( x = 3 \). Đồ thị có dạng:

```
y
|
| *
| |
| * |
| * |
| * *
|__________*____x
-1 1 3
```

### Kết luận
Hàm số \( y = x^2 - 2x - 3 \) có đỉnh tại \( (1, -4) \), cắt trục hoành tại \( x = -1 \) và \( x = 3 \), và có bảng biến thiên như đã lập ở trên.