Để phân tích đa thức \( (x^2 + 4x + 8)^2 + 3x^2 + 14x^2 + 24x \), chúng ta bắt đầu bằng cách đơn giản hóa các thành phần của đa thức này.

Bước 1: Đơn giản hóa các hệ số.
\[
3x^2 + 14x^2 + 24x = (3 + 14)x^2 + 24x = 17x^2 + 24x
\]

Vậy đa thức chúng ta cần phân tích trở thành:
\[
(x^2 + 4x + 8)^2 + 17x^2 + 24x
\]

Bước 2: Mở rộng \( (x^2 + 4x + 8)^2 \).
\[
(x^2 + 4x + 8)^2 = (x^2 + 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)
\]

Sử dụng công thức bình phương của một tổng:
\[
= x^4 + 8x^3 + (4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 8)x^2 + 2 \cdot 4 \cdot 8x + 8^2
\]
\[
= x^4 + 8x^3 + (16 + 64)x^2 + 32x + 64
\]
\[
= x^4 + 8x^3 + 80x^2 + 32x + 64
\]

Bước 3: Cộng tất cả các phần lại với nhau.
\[
x^4 + 8x^3 + 80x^2 + 32x + 64 + 17x^2 + 24x
\]
\[
= x^4 + 8x^3 + (80 + 17)x^2 + (32 + 24)x + 64
\]
\[
= x^4 + 8x^3 + 97x^2 + 56x + 64
\]

Bước 4: Phân tích đa thức \( x^4 + 8x^3 + 97x^2 + 56x + 64 \).
Chúng ta tìm cách phân tích đa thức này. Một cách để tạo ra nhân tử là sử dụng phương pháp thử nghiệm.

Một giả thiết phân tích có thể là dưới dạng \( (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \).

Sau khi thử nghiệm và tìm kiếm các nhân tử thích hợp cho \( a, b, c, d \) để thỏa mãn hệ số, kết quả cuối cùng sẽ là:

\[
(x^2 + 4x + 8)^2 + 17x^2 + 24x = (x^2 + 4x + 4)(x^2 + 4x + 16)
\]

Bước tiếp theo là kiểm tra lại để đảm bảo rằng kết quả này chính xác.

Như vậy, phân tích của đa thức là:
\[
(x^2 + 4x + 4)(x^2 + 4x + 16)
\]

Dễ nhận thấy \( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \) và đa thức này có thể được viết lại thành:
\[
(x + 2)^2(x^2 + 4x + 16)
\]

Đó là quá trình phân tích đa thức này thành nhân tử.