Cho tam giác ABC gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD bằng MA

Để chứng minh tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành trong trường hợp \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( MD = MA \), ta có thể làm theo các bước sau:

### a. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành

1. **Giải thích các điểm**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), tức là \( MB = MC \).
- Gọi điểm \( D \) trên tia đối của \( MA \) sao cho \( MD = MA \).

2. **Xét tam giác**:
- Ta có đoạn \( MA \) và \( MD \) bằng nhau.
- Xét ba điểm \( A, M, D \): Từ việc lấy điểm \( D \) trên tia đối của \( MA \) và điều kiện \( MD = MA \), ta có thể luôn có \( \angle AMB = \angle DMC \) do \( M \) là trung điểm và tọa độ trung điểm.

3. **Chứng minh các cạnh**:
- Từ điều kiện \( MA = MD \) và \( MB = MC \), ta có:
\[
AB = MD + MB = MA + MB
\]
\[
AD = MA + MD = MA + MA = 2MA
\]
Do \( M \) là trung điểm, và \( AB = AD \).
- Tương tự, tính tương tự cho đoạn \( AC \) và \( BD \) sẽ cho thấy rằng \( AC = BD \).

4. **Kết luận**:
- Từ định nghĩa của hình bình hành: Nếu hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, thì đó chính là hình bình hành. Do vậy, tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành.

### b. Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Khi tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), tức là \( \angle BAC = 90^\circ \).

1. **Cách tọa độ**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \) với \( M \) là trung điểm của \( BC \). Tọa độ điểm \( M \) sẽ là \( M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \).

2. **Vị trí điểm D**:
- Điểm \( D \) nằm trên tia đối của \( MA \) hiệu ứng từ điểm \( A \) và kéo dài đoạn thẳng \( MD \) và bằng độ dài \( MA \).

3. **Kết quả hình**:
- Do \( AB \) và \( AC \) vuông góc tại \( A \) (tức là góc giữa hai cạnh \( 90^\circ \)), và với \( D \) nằm trên đường đối của \( A \), với độ dài \( MD \) và \( MA \) bằng nhau, \( D \) cũng sẽ tạo thành một góc vuông tại M.
- Chúng ta dễ dàng có thể hiệu ứng rằng do \( AD \) và \( BC \) sẽ trở thành song song vì các tính chất của tam giác vuông. Do các cặp cạnh đối song song mà vẫn giữ các góc vuông tại A và M.

### Kết luận
Vì vậy, \( ABCD \) sẽ trở thành hình chữ nhật (một dạng đặc biệt của hình bình hành). Hình chữ nhật có tất cả các góc vuông và các cặp cạnh đối song song, bởi vì \( ABC \) là một hình vuông tại \( A \).