Để chứng minh rằng

\[
32^{35} - 2^{82} + 16^{21}
\]

chia hết cho 22, trước tiên ta phân tích số 22 ra thừa số nguyên tố, ta có:

\[
22 = 2 \times 11
\]

Vì vậy, chúng ta sẽ chứng minh rằng biểu thức trên chia hết cho 2 và 11.

**Bước 1: Kiểm tra chia hết cho 2**

Tính từng phần trong biểu thức với mod 2:

- \( 32^{35} \equiv 0 \mod 2 \) (vì 32 là số chẵn)
- \( 2^{82} \equiv 0 \mod 2 \) (vì 2 là số chẵn)
- \( 16^{21} \equiv 0 \mod 2 \) (vì 16 là số chẵn)

Do đó, ta có:

\[
32^{35} - 2^{82} + 16^{21} \equiv 0 - 0 + 0 \equiv 0 \mod 2
\]

Biểu thức chia hết cho 2.

**Bước 2: Kiểm tra chia hết cho 11**

Tính từng phần trong biểu thức với mod 11:

- Đầu tiên, tính \( 32 \mod 11 \):
\[
32 \mod 11 = 32 - 2 \times 11 = 32 - 22 = 10
\]
Vậy, \( 32^{35} \equiv 10^{35} \mod 11 \).

- Sử dụng định lý Fermat, \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \) với \( p = 11 \) thì \( a = 10 \):
\[
10^{10} \equiv 1 \mod 11
\]
Vì vậy,
\[
10^{35} = 10^{30} \cdot 10^{5} \equiv (10^{10})^3 \cdot 10^5 \equiv 1^3 \cdot 10^5 \equiv 10^5 \mod 11
\]

Tiếp tục tính \( 10^5 \mod 11 \):
\[
10^2 \equiv 1 \mod 11 \implies 10^4 \equiv 1 \mod 11
\]
\[
10^5 \equiv 10 \cdot 10^4 \equiv 10 \cdot 1 \equiv 10 \mod 11
\]

- Tiếp theo, tính \( 2^{82} \mod 11 \):
Theo định lý Fermat:
\[
2^{10} \equiv 1 \mod 11
\]
Vậy,
\[
82 \mod 10 = 2 \implies 2^{82} \equiv 2^2 \equiv 4 \mod 11
\]

- Cuối cùng, tính \( 16^{21} \mod 11 \):
\[
16 \mod 11 = 5 \implies 16^{21} \equiv 5^{21} \mod 11
\]
Sử dụng định lý Fermat:
\[
5^{10} \equiv 1 \mod 11
\]
Vậy,
\[
21 \mod 10 = 1 \implies 5^{21} \equiv 5^1 \equiv 5 \mod 11
\]

- Kết hợp tất cả lại, ta có:
\[
32^{35} - 2^{82} + 16^{21} \equiv 10 - 4 + 5 \mod 11
\]
\[
\equiv 10 - 4 + 5 \equiv 11 \equiv 0 \mod 11
\]

Cuối cùng, vì biểu thức \( 32^{35} - 2^{82} + 16^{21} \) chia hết cho cả 2 và 11, nên biểu thức này cũng chia hết cho 22.

\[
\boxed{32^{35} - 2^{82} + 16^{21} \text{ chia hết cho } 22}
\]