Ta có: AM vuông góc với AB (gt)
HN vuông góc với AB (gt)
⇒ AM // HN
Ta có: AN vuông góc với AC (gt)
HM vuông góc với AC (gt)
⇒ AN // HM
Tứ giác AMHN có: AM // HN, AN // HM
⇒ Tứ giác AMHN là hình bình hành 
Mà góc A = 90 độ (gt)
⇒ Hình bình hành AMHN là hình chữ nhật 

Ta có: góc BAH + góc HAC = 90 độ (gt)
góc CAI + góc HAC = 90 độ (gt)
⇒ góc BAH = góc CAI

Ta có: AI là đường trung tuyến của tam giác ABC (gt)
⇒ AI đi qua trung điểm của BC
 MN là đường trung bình của tam giác ABC (gt)
⇒ MN đi qua trung điểm của BC
⇒ AI đi qua trung điểm của MN
Ta có: AMHN là hình chữ nhật (cmt)
⇒ AH = MN
Xét tam giác AHI và tam giác MNI có:
AH = MN (cmt)
AI = NI (cmt)
HI chung
⇒ Tam giác AHI = tam giác MNI (c.c.c)
⇒ góc AHI = góc MNI (2 góc tương ứng)
Mà góc AHI + góc MHI = 180 độ (kề bù)
⇒ góc MNI + góc MHI = 180 độ
⇒ góc MHI = 90 độ
⇒ AI vuông góc với MN