Cho hình vuông ABCD có E là trung điểm BC AE cắt BD tại F. Tính diện tích hình vuông ABCD biết diện tích tam giác AFB là 24cm^2

Để giải bài toán này, ta hãy đặt cạnh của hình vuông ABCD là \( a \). Do đó, diện tích của hình vuông ABCD sẽ là \( S = a^2 \).

Ta có các điểm như sau:
- \( A = (0, a) \)
- \( B = (0, 0) \)
- \( C = (a, 0) \)
- \( D = (a, a) \)
- \( E \) là trung điểm của \( BC \), nên \( E = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \)

Tiếp theo, ta cần tìm phương trình của đường thẳng \( AE \) và \( BD \):
1. Phương trình của đường thẳng \( AE \):
- Đầu cực \( A(0, a) \) và \( E\left(\frac{a}{2}, 0\right) \) có độ dốc là:
\[
m_{AE} = \frac{0 - a}{\frac{a}{2} - 0} = \frac{-a}{\frac{a}{2}} = -2
\]
- Phương trình sẽ là \( y - a = -2(x - 0) \), hay \( y = -2x + a \).

2. Phương trình của đường thẳng \( BD \):
- Đầu cực \( B(0, 0) \) và \( D(a, a) \) có độ dốc:
\[
m_{BD} = \frac{a - 0}{a - 0} = 1
\]
- Phương trình sẽ là \( y = x \).

Bây giờ ta cần tìm điểm giao \( F \) của \( AE \) và \( BD \):
- Giải hệ phương trình:
\[
y = -2x + a
\]
\[
y = x
\]

Thay \( y = x \) vào phương trình của \( AE \):
\[
x = -2x + a \implies 3x = a \implies x = \frac{a}{3}
\]
Từ đó, \( y = \frac{a}{3} \), do đó \( F = \left(\frac{a}{3}, \frac{a}{3}\right) \).

Bây giờ, ta tính diện tích tam giác \( AFB \):
- Để tính diện tích tam giác \( AFB \) với các đỉnh:
- \( A(0, a) \)
- \( B(0, 0) \)
- \( F\left(\frac{a}{3}, \frac{a}{3}\right) \)

Diện tích tam giác \( AFB \) được tính theo công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
- Nhập vào:
\[
S = \frac{1}{2} \left| 0(0 - \frac{a}{3}) + 0\left(\frac{a}{3} - a\right) + \frac{a}{3}(a - 0) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| \frac{a^2}{3} \right| = \frac{a^2}{6}.
\]

Theo đề bài, ta có \( S = 24 \, \text{cm}^2 \):
\[
\frac{a^2}{6} = 24 \implies a^2 = 24 \times 6 = 144.
\]

Vậy diện tích hình vuông \( ABCD \) là:
\[
S = a^2 = 144 \, \text{cm}^2.
\]

Vậy diện tích hình vuông ABCD là **144 cm²**.