Để tìm số dư khi A = \(4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{40}\) chia cho 5, trước tiên, chúng ta sẽ tìm tổng A này.

A là một chuỗi hình học với số hạng đầu \(a = 4\) và tỷ số \(r = 4\). Số hạng cuối là \(4^{40}\). Tổng của chuỗi hình học có thể được tính bằng công thức:

\[
A = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Ở đây, số hạng đầu ý ở vị trí 1 trong chuỗi (tối đa có 40 hạng) và n là số hạng (từ 1 đến 40, có tổng cộng 40 hạng).

Do đó,

\[
n = 40
\]
\[
A = 4 \cdot \frac{4^{40} - 1}{4 - 1} = 4 \cdot \frac{4^{40} - 1}{3}
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính \(A \mod 5\). Trước tiên, hãy xem xét \(4^n \mod 5\):

- \(4^1 \equiv 4 \mod 5\)
- \(4^2 \equiv 16 \equiv 1 \mod 5\)
- \(4^3 \equiv 4 \cdot 4^2 \equiv 4 \cdot 1 \equiv 4 \mod 5\)
- \(4^4 \equiv 4 \cdot 4^3 \equiv 4 \cdot 4 \equiv 16 \equiv 1 \mod 5\)

Từ đây, ta thấy rằng \(4^n\) có chu kỳ 2 (với \(4^n \equiv 4 \mod 5\) khi n lẻ và \(4^n \equiv 1 \mod 5\) khi n chẵn).

Bây giờ, hãy phân tích từng hạng tử của A modulo 5:

- Những số hạng có chỉ số lẻ: \(4^1, 4^3, \ldots, 4^{39}\) (tổng cộng 20 số hạng, mỗi số hạng đều \( \equiv 4 \mod 5\)).
- Những số hạng có chỉ số chẵn: \(4^2, 4^4, \ldots, 4^{40}\) (tổng cộng 20 số hạng, mỗi số hạng đều \( \equiv 1 \mod 5\)).

Tính tổng:

- Tổng hạng lẻ: \(20 \cdot 4 = 80\)
- Tổng hạng chẵn: \(20 \cdot 1 = 20\)

Vậy tổng A modulo 5 là:

\[
A \equiv 80 + 20 \mod 5
\]
\[
A \equiv 100 \mod 5
\]
\[
A \equiv 0 \mod 5
\]

Do đó, số dư khi A chia cho 5 là \( \boxed{0} \).