Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC, với B (O) và C (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại M

Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một:

### a) Chứng minh 4 điểm O, B, M, A cùng nằm trên một đường tròn.

Ta có hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Vì BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, nên B là tiếp điểm trên đường tròn (O) và C là tiếp điểm trên đường tròn (O’).

Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
- OA ⊥ AB (từ O đến AB)
- O’A ⊥ AC (từ O’ đến AC)

Do đó, góc OAB = 90° và góc O'AC = 90°. Suy ra trong tam giác OAB và O'AC, ta có:

∠OAB + ∠O’AC = 90° + 90° = 180°

Vậy nên, điểm O, B, M, A nằm trên một đường tròn với đường kính MB. Chứng minh xong.

### b) Chứng minh MB = MC và tam giác ABC là tam giác vuông.

Do BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’), theo tính chất của tiếp tuyến ta có:
- MB vuông góc với OB.
- MC vuông góc với OC.

Xét tam giác OMB và O’MC, ta có:
- MB = MC (bởi vì cả hai đoạn này là độ dài của đường tiếp tuyến từ điểm M đến hai đường tròn).

Ngoài ra, với điều kiện MB vuông góc với OB và MC vuông góc với OC, ta suy ra rằng tam giác ABC vuông tại M.

### c) MO cắt AB ở E, MO’ cắt AC ở F. Chứng minh tứ giác MEAF là hình chữ nhật.

Để chứng minh MEAF là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng:
1. ME // AO và MF // AO’ (có nghĩa là ME ⊥ AF và MF ⊥ AE).
2. ME = FA và MF = AE (có nghĩa là hai cặp cạnh đối diện bằng nhau).

Vì B, C là hai tiếp điểm nên:
- OA ⊥ AB => ME ⊥ AE
- O'A ⊥ AC => MF ⊥ AF

Từ đó suy ra tứ giác MEAF là hình chữ nhật.

Tổng kết lại, ta đã chứng minh:

- 4 điểm O, B, M, A cùng trên một đường tròn.
- MB = MC và tam giác ABC là tam giác vuông.
- Tứ giác MEAF là hình chữ nhật.

Như vậy, bài toán hoàn thành.