Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến. Gọi H là trung điểm của AC lấy điểm N sao cho: H là trung điểm của MN

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích các phần một cách chi tiết:

### a) Tứ giác AMCN là hình gì? Tại sao?

Ta biết rằng A là đỉnh vuông của tam giác ABC, do đó AC vuông góc với AB. H là trung điểm của AC, nên theo định nghĩa trung điểm, ta có AH = HC. AM là đường trung tuyến từ A đến BC, do đó M là trung điểm của BC.

Với H là trung điểm của AC và M là trung điểm của BC, ta thấy tứ giác AMCN có các điểm M, A, C, H. Do M, H là trung điểm của các cạnh trong tam giác, nên tứ giác AMCN có tính chất của hình thoi. Cụ thể, nếu H là trung điểm của MN và AM = CN (vì M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AC), thì tứ giác AMCN là hình thoi.

### b) Chứng minh tứ giác AMBE là hình thoi và tứ giác AKMH là hình chữ nhật

- **Chứng minh tứ giác AMBE là hình thoi:**
1. K là trung điểm của AB, nghĩa là AK = KB.
2. E được xác định sao cho K là trung điểm của ME, tức là KE = KM.

Vì AM = MB (M là trung điểm của BC), nên ta có:
- AM = MB,
- KE = KM.

Từ đó suy ra hai cặp cạnh đối diện (AM và BE) và (MB và AE) đều bằng nhau. Do đó, tứ giác AMBE là hình thoi.

- **Chứng minh tứ giác AKMH là hình chữ nhật:**
Từ tứ giác AMBE, ta có K là trung điểm của cạnh AB, và M là trung điểm của BC.
- Do AM = MB và AK = KB, nên ta có AK = AM và KH = MB.
- Do tứ giác AMBE là hình thoi nên góc AMB = góc ABE, do đó hai đường chéo AK và ME cắt nhau tại trung điểm A và điểm M.
- Nếu AK vuông góc với MH (vì đây là đường trung tuyến của tam giác vuông), tứ giác AKMH có các góc vuông tại A và M, điều này chứng minh tứ giác AKMH là hình chữ nhật.

- **Suy ra KH = 1/2 BC:**
Bởi vì K là trung điểm của AB, ta có AB = 2KH. Đồng thời, trong tam giác vuông ABC, BC là cạnh huyền. Do đó KH = 1/2 BC.

### c) Chứng minh A là trung điểm của ME:

Để A là trung điểm của ME, ta xét:
- K là trung điểm của AB, mà truyền thông đến E là K cũng phải có AK = KE.
- Vừa rồi ta đã chứng minh tứ giác AMBE là hình thoi, và nó cho thấy rằng M và E đều đối diện nhau qua A.

Do đó, ta có thể kết luận rằng A chính là trung điểm của đoạn ME.

Tổng hợp lại, các phần b và c đều cho thấy tính chất của các đoạn thẳng và định nghĩa về trung điểm, từ đó dẫn đến các tính chất hình học mong muốn.