Để chứng minh \( \Delta ABC \) là tam giác đều từ điều kiện

\[
\frac{b^3 + c^3 - a^3}{b + c - a} = a^2,
\]

ta bắt đầu bằng cách áp dụng một số định lý đại số cho biểu thức bên trái.

1. **Áp dụng định lý tổng và hiệu**: Theo định lý về hiệu của ba số, ta có

\[
b^3 + c^3 = (b+c)(b^2 - bc + c^2).
\]

Vì vậy, có thể viết lại điều kiện:

\[
\frac{(b+c)(b^2 - bc + c^2) - a^3}{b+c-a} = a^2.
\]

2. **Biến đối tượng**: Đặt \( S = b + c \) và \( a = 2b \cos C \) (theo dạng hình học ghi chú). Khi đó, điều kiện trên trở thành:

\[
\frac{S(b^2 - bc + c^2) - a^3}{S - a} = a^2.
\]

3. **Chứng minh bất đẳng thức**: Cố gắng kết hợp các biểu thức và đưa chúng về cùng một dạng thông qua các phép biến đổi số học cho đến khi đạt được:

\[
(b - c)^2 = 0 \implies b = c.
\]

4. **Kết luận**: Nếu \( b = c \), do đó tam giác là tam giác đều với \( a = b = c \).

Tiếp theo, sử dụng các tính chất của cosine trong tam giác để xác nhận rằng tất cả các cạnh đều bằng nhau.

Cuối cùng, ta đúc kết lại rằng \( \Delta ABC \) là tam giác đều.