Tìm giá trị lớn nhất

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = 0.5 |6x + 3| - 3 |x - 1| - (4x^3 - 9x)^{100} \), ta sẽ phân tích từng thành phần trong hàm.

1. **Xét phần bậc 3**: \( 4x^3 - 9x \)
- Để nghiên cứu đặc điểm của \( 4x^3 - 9x \), ta có thể tìm nghiệm của phương trình \( 4x^3 - 9x = 0 \):
\[
x(4x^2 - 9) = 0 \implies x = 0 \quad \text{hoặc } 4x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm \frac{3}{2}
\]
- Vậy các điểm cần chú ý là \( x = -\frac{3}{2}, 0, \frac{3}{2} \).

2. **Xét dấu của \( 4x^3 - 9x \)**:
- Tại các khoảng \( (-\infty, -\frac{3}{2}), (-\frac{3}{2}, 0), (0, \frac{3}{2}), (\frac{3}{2}, +\infty) \).
- Ta kiểm tra các giá trị:
- Khi \( x < -\frac{3}{2} \): \( 4x^3 - 9x < 0 \).
- Khi \( -\frac{3}{2} < x < 0 \): \( 4x^3 - 9x < 0 \).
- Khi \( 0 < x < \frac{3}{2} \): \( 4x^3 - 9x > 0 \).
- Khi \( x > \frac{3}{2} \): \( 4x^3 - 9x > 0 \).

3. **Chú ý đến \( (4x^3 - 9x)^{100} \)**:
- Nó sẽ bằng 0 tại \( x = 0, -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \) và dương tại \( x \in (0, +\infty) \) và âm tại \( x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \).

4. **Xét các thành phần khác**:
- \( |6x + 3| \) và \( |x - 1| \) cũng sẽ thay đổi theo các khoảng khác nhau. Chúng ta cần xét các trường hợp cho giá trị của \( f(x) \).

5. **Tính các giá trị của hàm f(x)** tại các điểm chính:
- \( x = -\frac{3}{2} \):
\[
f\left(-\frac{3}{2}\right) = 0.5|0| - 3|-\frac{5}{2}| - 0^{100} = 0 - 3 \cdot \frac{5}{2} = -\frac{15}{2}
\]
- \( x = 0 \):
\[
f(0) = 0.5|3| - 3|-1| - 0^{100} = 0.5 \cdot 3 - 3 = 1.5 - 3 = -1.5
\]
- \( x = \frac{3}{2} \):
\[
f\left(\frac{3}{2}\right) = 0.5|6\cdot\frac{3}{2} + 3| - 3|0.5| - 0^{100} = 0.5 \cdot 12 - 3 \cdot 0.5 = 6 - 1.5 = 4.5
\]

6. **Xét giới hạn**:
- Khi \( x \to +\infty \): \( f(x) \to -\infty \).
- Khi \( x \to -\infty \): \( f(x) \to +\infty \) (nếu mà hàm không đi đến -∞ trước khi đạt giá trị lớn nhất).

### Kết luận:
Dựa trên các giá trị kiểm tra, giá trị lớn nhất xảy ra tại \( x = \frac{3}{2} \) với \( f\left(\frac{3}{2}\right) = 4.5 \).

**Giá trị lớn nhất của hàm là**: \( \boxed{4.5} \).