Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( F = 3y^2 + 6y + 5 \), ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định dạng hàm số**: Đây là một hàm bậc hai có dạng \( F(y) = ay^2 + by + c \) với \( a = 3 > 0 \), do đó hàm số có hình parabol hướng lên.

2. **Tính đỉnh của parabol**: Giá trị nhỏ nhất của hàm số xảy ra tại đỉnh của parabol, có công thức xác định tọa độ y của đỉnh là:
\[
y_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times 3} = -1
\]

3. **Tính giá trị của hàm số tại \( y_{\text{đỉnh}} \)**:
\[
F(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) + 5 = 3 \cdot 1 - 6 + 5 = 3 - 6 + 5 = 2
\]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( F \) là \( \boxed{2} \).