Để giải bài tập này, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a. Chứng minh tứ giác ADBC là hình bình hành.
1. **Thông tin đã cho:**
- ∆ABC cân tại A nên AB = AC.
- I là trung điểm của AC.
- D là điểm sao cho I là trung điểm của BD.

2. **Chứng minh các cặp cạnh đối diện bằng nhau:**
- Từ định nghĩa trung điểm, ta có:
- \( AI = IC \) (vì I là trung điểm của AC)
- \( BI = ID \) (vì I là trung điểm của BD)

3. **Chứng minh rằng ADBC là hình bình hành:**
- Xét hai cặp cạnh:
- Cặp cạnh \( AB \) và \( CD \):
- Ta cần chứng minh \( AB = CD \).
- **Tính chất tam giác:** Ta đã biết \( AB = AC \).
- Do I là trung điểm và điểm D được xác định sao cho BD = BI, nên:
- \( ID = AI \Longrightarrow AC = BD \).
- Suy ra \( AB = CD \).
- Cặp cạnh \( AD \) và \( BC \):
- Tương tự, dựa vào tam giác cân, ta có \( AD = BC \).

4. **Kết luận:**
- Tứ giác ADBC có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, vậy ADBC là hình bình hành.

### b. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm D và song song với AC cắt BC tại điểm E. Đồng thời chứng minh AE = BD.
1. **Xét đường thẳng đi qua điểm D và song song với AC:**
- Vì D nằm trên đường thẳng đi qua I và I là trung điểm đã cho, nên đường thẳng này sẽ song song với cạnh AC.
- Theo tính chất của đường thẳng song song, đường thẳng này sẽ cắt BC tại điểm E.

2. **Chứng minh AE = BD:**
- Từ định nghĩa các điểm trung điểm và tính chất hình bình hành, ta có:
- AE và BD là các đoạn thẳng được tạo ra từ các điểm trung điểm.
- Vì D được xác định sao cho \( I \) là trung điểm của BD và I là trung điểm của AC, nên:
- \( AE = ID = BD \).

### Kết luận:
- Đường thẳng đi qua điểm D và song song với AC cắt BC tại điểm E.
- Đồng thời AE = BD.

Vậy bài toán đã được giải xong.